Topología geomètrica

Una superfície Seifert delimitada per un conjunt de nucs borromeos. Les superfícies de Seifert para enllaços són una ferramenta útil en topología geomètrica.

La topología geomètrica (topología de dimensions baixes) és l'àrea de la topología i la topología algebraica que estudia problemes geomètrics, topològics i algebraics que sorgixen en l'estudi de varietatés de dimensions menors que 5, espais localment homeomorfos als espais euclídeos, des de dimensió zero fins a la quarta. Els seus métodos estan inspirats en la geometria i la topología de fenomens físics inclusivament relativistes i quàntics i idealisacions abstractes modernes sobre el concepte de dimensions: destacadamente i prominentemente, en tres i quatre dimensions.

Per a esta ciència -que estudia les varietats i els encaixos i encaixos propis entre elles-, estos són alguns dels temes representatius d'esta ciència: la teoria de nucs; classificació de 3 i 4-varietatés; Complements de nucs en la n-esfera, $S^n$; Teoria topològica quàntica de camp.

La topología de dimensions baixes (com també se li coneix) és considerada una ciència d'una gran interactividad entre totes la branques de la matemàtica i en atres de la física. Una de les qüestions importants d'esta branca (recent resolta per Perelman del 2006) és la célebre Conjectura de Poincaré, tant com la conjectura de geometrización de Thruston.

Tòpics

1-varietatés

• curva: Parametrización d'un camí diferenciable entre dos punts en algun espai
• trayectòria: Casi com una curva pero no necessàriament diferenciable, només es demana continuïtat
• circumferència o 1-esfera: qualsevol trayectòria, camí o curva tancada simple.
• grup fonamental: Functor de la topología algebraica que assigna a un espai, X, el seu grup fonamental ${\pi }_1(X)$
• nuc: En l'espai X, és un subconjunt K de X, que és homeomorfo a l'u-esfera
• enllaç: Conjunt de components conexas, cada component homeomorfo a $S^1$
• trena (braid): Conjunt unidimensional que té el tipo homotópico d'un wedge de circumferència
• grup de trenes (braid group)
• Nuc tórico: curva tancada simple en la superfície del bou

2-varietatés

• superfície: El clafoll d'objectes tridimensionals. Objectes localment homeomorfos a ${ℝ}^2$
• esfera:
• bou (matemàtiques):
• pla proyectivo: Espai bidimensional construït a partir d'identificar la frontera d'una banda de Möbius i la frontera d'un disc
• botella de Klein: Espai que es crea, en pegar la frontera de dos bandes de Möbius
• rogle o cilindre: I-bundle trivial sobre la 1-esfera
• banda de Möbius: Fibrado no trivial per interval sobre un círcul (I-bundle over S¹)
• Característica de Euler: Igual a número de vèrtiços menys número de costats més número de cares. És invariante en posar més vèrtiços i per això costats i cares
• Pla complex: $ℂ$
• Pla cartesiano: ${ℝ}^2$
• Curvatura de superfícies: Concepte de mida de com es curven les superfícies localment, tenint com a patró l'esfera de ràdio r que es curva localment 1/r² en cada u dels seus punts. Observe que entre més gran el radi, la curvatura tendix a zero (que és la curvatura del pla). Dit d'una atra manera: un pla és com una esfera de radi infinit.

3-varietatés

Esquema simplicial d'una tres-varietat hiperbòlica.

• 3-esfera o ben SU(2)
• espai proyectivo
• fibrados de Seifert
• Surface Bundle
• esfera homológica
• Conjectura de Poincaré
• SO(3)
• Poliedres [1]
• Politopo regular
• Complement d'un nuc
• gènero de Heegaard
• espai hiperbòlic

4-varietatés

• espai-temps
• Relativitat
• Espai de Minkowski

• Pentácoron

Vore també

• topología algebraica
• topología diferencial
• Teoria geomètrica de grups