Esfera homológica

En la topología algebraica, una esfera homológica és una n-varietat $M$ que els seus grups d'homologia són iguals als de la n-esfera de la dimensió corresponent. Açò vol dir que:

• $H_0(M)=\mathbb{Z}$
• $H_1(M)=\{0\}$

• ...

• $H_{n-1}(M)=\{0\}$
• $H_n(M)=\mathbb{Z}$.

M és un conjunt conexo en un número de Betti alt: b_n. No es deduïx que M siga simplement conexo, solament que el seu grup fonamental és perfecte. Encara que la definició no depén de la dimensió, les esferes homológicas se solen considerar sobretot en topología de 3-varietatés. L'única 3-esfera d'homologia que és simplement conexa és la 3-esfera usual S³. Les demés tenen un grup fonamental infinit, en excepció de l'esfera d'homologia de Poincaré.

Esfera de Poincaré

La esfera d'homologia de Poincaré (també cridada «espai dodecaédrico de Poincaré») és un eixemple particular d'esfera homológica. En ser una 3-varietat esfèrica, és l'única 3-esfera homológica (ademés de la 3-esfera) en un grup fonamental finito (d'orde 120). Açò mostra que la hipòtesis de Poincaré no pot ser enunciada en térmens d'homologia únicament. De fet, la primera versió de la conjectura de Poincaré va ser que l'única $3$-esfera homológica és l'esfera estàndar. Poincaré va conseguir desmentir la seua conjectura en trobar este contraeixemple (conegut hui com la «esfera de Poincaré»).

Una esfera-Poincare,pot ser una $3$-esfera en térmens de $S^3(M,\pi )$×en tal cas per a una 3-dimensió (pugues en este context vore-ho com a punt compactes en $R^4$-varietat exòtica), es pot entendre un 1-compacte de la 3-esfera com a cobertes d'un espai máx-Min, a on és certa la conjectura Poincare-Pelerman (açò puix un máx-Min, genera estructures de variació en térmens discrets d'un Ricci-fluix), gràcies a esta terminologia es pot enfocar el máx-Min espai en una estructura A-hipergeometrica de deformacions, com $A_{\mathrm{\infty },Min}:=S^3$ o ben escrita també com $A=S^{3-\pi }$ a on en tal case una gaveta de A-hipergeometrica convexa, evalua l'integral d'un máx-Min espai, d'hi ha sorgixen termes d'investigació actius, a on es veu com l'A-hipercubo simple,convexo permet vore una estructura de conjectura-Hodge com certa (ya que hi ha A-hipercubo cert en grups de cohomologia-Rham, finitos coberts), inclús es va provar que una 3-esfera és certa per a algun hipercubo de Rham, reflectit en la conjectura-Hodge.

Construcció

Archiu:Dodecahedron.svg

Dodecaedre

Una construcció simple d'este espai comença en un dodecaedre. Cada costat del dodecaedre s'identifica en el seu costat opost, utilisant un gir mínim per a alinear-los. Pegant cada parell de costats oposts de dodecaedre s'obté una 3-varietat tancada.

Cosmologia

En 2003, una aparent periodicitat a grans escales del univers va ser detectada en la radiació de fondo de microones pel satèlit WMAP. Estes observacions varen dur a l'astrofísic Jean-Pierre Luminet del Observatori de París a la proposta d'interpretar les anomalies de l'anisotropía de l'univers, com a resultat de que l'univers tindria la topología d'una esfera de Poincaré. En 2008, els astrònoms varen trobar la millor orientació del cel per a este model (després de tres anys d'observacions en la sonda WMAP) i es varen confirmar algunes de les seues prediccions. No obstant, encara no hi ha proves sòlides que recolzen esta hipòtesis.

Vore també

• 3-esfera
• n-esfera
• homologia
• Topología cocient