Ideal primer

Archiu:A portion of the lattice of ideals of Z illustrating prime, semiprime and primary ideals caps block 0 .svg

Diagrama de Hasse d'una part del retícul dels ideals dels número entero. Els nodos morats indiquen ideals cosins. Els nodos morats i verts són ideals semiprimos, i els nodos morats i blaus són ideals primaris.

Archiu:Dedekind.jpeg

Per a generalisar el Teorema Fonamental de l'Aritmètica dels número entero (descomposició única en primers) a qualsevol anell de sancers algebraics, J. W. R. Dedekind va introduir el concepte d'ideals.

En àlgebra abstracta, un ideal primer és un subconjunt d'un anell que presenta moltes de les propietats importants dels número primo en l'anell dels número entero.^[1]^[2] Els ideals cosins de l'anell dels número entero són els subconjunts formats per tots els múltiples d'un número primo donat, junt en l'ideal zero.

Tots els ideals primitius són primers, i els ideals cosins són tant primaris com semiprimos.

Ideals cosins en anells conmutativos

Definició

Un ideal $P$ d'un anell conmutativo $R$ és primer si té les següents dos propietats:

Per a qualsevol parell d'elements $a$ i $b$ de l'anell $R$ tals que el seu producte $a b$ pertany a $P$ , o be $a$ està en $P$ o be $b$ està en $P$ (o abdós ho estan).
$P$ no és tot l'anell $R$ .

Açò generalisa la següent propietat dels número primo, coneguda com lema de Euclides: si $p$ és un número primo que dividix al producte $a b$ de dos número entero, llavors $p$ dividix $a$ o $p$ dividix $b$ . Per lo tant, es pot dir que

Un sancer positiu

n

és un número primo si i només si

n ℤ = {n z ∣ z \in ℤ}

és un ideal primer de

ℤ

.

Eixemples

Eixemple senzill: en l'anell $R = ℤ$ , el subconjunt dels número par és un ideal primer.
Donat un domini d'integritat $R$ , qualsevol element primer $p \in R$ genera un ideal principal primer $(p)$ . Per eixemple, el generat per un polinomi irreducible $f (x_{1}, \dots, x_{n})$ en un anell de polinomis $𝔽 [x_{1}, \dots, x_{n}]$ sobre algun cos $𝔽$ . El criteri de Eisenstein pot usar-se per a determinar si cert polinomi és irreducible.
Si $R$ denota l'anell $ℂ [X, Y]$ de polinomis en dos variables en coeficients complexos, llavors l'ideal generat pel polinomi $Y^{2} - X^{3} - X - 1$ és un ideal primer (vore curva elíptica).
En l'anell $ℤ [X]$ de tots els polinomis en coeficients sancers, l'ideal generat per $2$ i $X$ és un ideal primer. Este ideal consistix en tots els polinomis que es poden expressar com $2$ multiplicat per un element de $ℤ [X]$ sumat a $X$ multiplicat per un atre polinomi en $ℤ [X]$ (la qual cosa convertix el coeficient constant de l'últim polinomi en un coeficient llineal). Per lo tant, l'ideal resultant consistix en tots aquells polinomis el coeficient constant dels quals és parell.

En qualsevol anell $R$ , tot ideal maximal és primer. Un ideal maximal és un ideal $M$ que és maximal en el conjunt de tots els ideals propis de $R$ , és dir, $M$ està contingut en exactament dos ideals de $R$ : el propi $M$ i el total $R$ . En un domini d'ideals principals, tot ideal cosí distint de zero és maximal, pero açò no és cert per a qualsevol anell. Per al DFU $ℂ [x_{1}, \dots, x_{n}]$ , el Teorema dels zeros de Hilbert afirma que tot ideal maximal és de la forma $(x_{1} - α_{1}, \dots, x_{n} - α_{n})$ , en $α_{1}, \dots, α_{n} \in ℂ$ .
Si $M$ és una varietat diferenciable, $R$ és l'anell de funcions reals suaus sobre $M$ i $x$ és un punt de $M$ , llavors el conjunt de totes les funcions suaus $f$ tals que $f (x) = 0$ forma un ideal primer (de fet maximal) de $R$ .

Contraeixemples

Considere's la composició dels següents dos cocients

ℂ [x, y] \to \frac{ℂ [x, y]}{(x^{2} + y^{2} - 1)} \to \frac{ℂ [x, y]}{(x^{2} + y^{2} - 1, x)}

Encara que els dos primers anells són dominis d'integritat (de fet el primer és un DFU), l'últim no ho és, ya que és isomorfo a

\frac{ℂ [x, y]}{(x^{2} + y^{2} - 1, x)} ≅ \frac{ℂ [y]}{(y^{2} - 1)} ≅ ℂ \times ℂ

pel teorema chinenca del restant, perque

(y^{2} - 1)

factoriza com

(y - 1) (y + 1)

.

Açò implica l'existència de divisores de zero en l'anell cocient i demostra que l'ideal

(x^{2} + y^{2} - 1, x) \subset ℂ [x, y]

no és primer. (Vore la primera propietat llistada a continuació.)

Un atre contraeixemple és l'ideal $(2, x^{2} + 5) \subset ℤ [x]$ , ya que es té

x^{2} + 5 - 2 \cdot 3 = (x - 1) (x + 1) \in (2, x^{2} + 5)

pero ni

x - 1

ni

x + 1

són elements de l'ideal, per lo que este no és primer.

Propietats

Un ideal $I$ en l'anell $R$ (en unitat) és primer si i només si l'anelle cocient $R / I$ és un domini d'integritat. En particular, un anell conmutativo (en unitat) és un domini d'integritat si i només si l'ideal $(0)$ és primer. (Note's que l'anell trivial no té ideals cosins, perque l'ideal $(0)$ és l'anell complet).
Un ideal $I$ és primer si i només si el seu conjunt complementari és multiplicativamente tancat.^[3]
Tot anell no trivial conté a lo manco un ideal primer (de fet, conté a lo manco un ideal maximal), com a conseqüència directa del teorema de Krull.
La preimagen d'un ideal cosí baix un homomorfisme d'anells és un ideal primer. L'anàlec no sempre és cert para ideals maximales, la qual cosa és una de les raons per les que en geometria algebraica es definix l'espectre d'un anell com el seu conjunt d'ideals cosins en lloc d'ideals maximales; es desija que un homomorfisme d'anells induïxca una funció entre els seus espectres.
El conjunt de tots els ideals cosins (cridat l'espectre de l'anell) conté elements mínims (cridats ideals primers minimales). Geomètricament, estos corresponen a components irreducibles de l'espectre.
L'ideal que resulta de la suma de dos ideals cosins no és necessàriament primer. Per eixemple, considere's l'anell $ℂ [x, y]$ en els ideals primers $P = (x^{2} + y^{2} - 1)$ i $Q = (x)$ (els ideals generats per $x^{2} + y^{2} - 1$ i $x$ respectivament). No obstant, la seua suma $P + Q = (x^{2} + y^{2} - 1, x) = (y^{2} - 1, x)$ no és un ideal primer: $y^{2} - 1 = (y - 1) (y + 1) \in P + Q$ , pero cap dels dos factors està en la suma. Alternativament, l'anell cocient té divisores de zero, per lo que no és un domini d'integritat i per tant $P + Q$ no pot ser primer.
No tot ideal que no puga factorizarse en dos ideals és un ideal primer; per eixemple $(x, y^{2}) \subset ℝ [x, y]$ no es pot factorizar pero no és primer.

En un anell conmutativo $R$ no trivial, si tot ideal propi és primer, llavors l'anell és un cos. (Si l'ideal $(0)$ és primer, llavors l'anell $R$ és un domini d'integritat. Si $q$ és un element de $R$ distint de zero i l'ideal $(q^{2})$ és primer, llavors conté a $q$ i per tant $q$ és invertible.)
Un ideal principal distint de zero és primer si i només si està generat per un element primer. En un DFU, tot ideal cosí distint de zero conté un element primer.

Usos

Un dels usos dels ideals cosins es dona en geometria algebraica, a on una varietat algebraica es definix com el conjunt de punts a on es anulen tots els polinomis d'un ideal d'un anell de polinomis. Resulta que les varietats irreducibles corresponen a ideals cosins. En l'enfocament abstracte modern, es partix d'un anell conmutativo arbitrari i es convertix el conjunt dels seus ideals cosins, també cridat el seu espectre, en un espai topològic, i aixina es poden definir generalisacions de les varietats anomenades esquemes, que tenen aplicacions no només en geometria, sino també en teoria de números.

L'introducció dels ideals cosins en la teoria algebraica de números va ser un gran pas alvance. L'important propietat d'factorización única dels sancers en factors primers, expressada en el teorema fonamental de l'aritmètica, no es complix en tots els anells de sancers algebraics. No obstant, es va trobar un substitut general a este resultat quan Richard Dedekind va reemplaçar els elements per ideals i els elements primers per ideals cosins; vore domini de Dedekind.

Ideals cosins en anells no conmutativos

La noció d'ideal primer es pot generalisar a anells no conmutativos utilisant una definició anàloga a la conmutativa, reemplaçant elements per ideals. Wolfgang Krull va propondre esta idea en 1928.^[4] La següent definició pot trobar-se en texts com Goodearl^[5] i Lam.^[6] Si $R$ és un anell (possiblement no conmutativo) i $P$ és un ideal propi de $R$ , es diu que $P$ és primer si para qualssevol dos ideals $A$ i $B$ de $R$ :

Si el producte de dos ideals $A B$ està contingut en $P$ , o be $A$ està contingut en $P$ o be $B$ està contingut en $P$ (o abdós ho estan).

Es pot demostrar que esta definició és equivalent a la donada per elements per al cas d'anells conmutativos. Es pot comprovar que si un ideal d'un anell no conmutativo satisfà la definició conmutativa de primer, llavors també satisfà la versió no conmutativa. Un ideal que satisfà la definició conmutativa de cosí es denomina a voltes ideal completament primer, per a distinguir-ho dels atres ideals merament cosins de l'anell. Els ideals completament primers són ideals cosins, pero el recíproc no sempre és cert. Per eixemple, l'ideal zero $(0)$ de l'anell de matrius $n \times n$ sobre un cos és un ideal primer, pero no és completament primer.

Açò s'aproxima més al punt de vista històric dels ideals com números ideals, ya que per a l'anell $ℤ$ , " $(a)$ està contingut en $(p)$ " és una atra forma de dir “ $p$ dividix a $a$ ”, i l'ideal total $R = (1)$ representa l'unitat.

Les següents propietats també són equivalents a que l'ideal $P \neq R$ siga primer:

Per a tot parell d'elements $a$ i $b$ de $R$ , l'inclusió $(a) (b) \subseteq P$ implica $a \in P$ o $b \in P$ .

Per a tot parell d'ideals per la dreta $A$ i $B$ de $R$ , l'inclusió $A B \subseteq P$ implica $A \subseteq P$ o $B \subseteq P$ .
Per a tot parell d'ideals per l'esquerra $A$ i $B$ de $R$ , l'inclusió $A B \subseteq P$ implica $A \subseteq P$ o $B \subseteq P$ .
Per a tot parell d'elements $a$ i $b$ de $R$ , l'inclusió $a R b \subseteq P$ implica $a \in P$ o $b \in P$ .

Els ideals cosins en anells conmutativos es caracterisen per tindre complements multiplicativamente tancats en $R$ i, en llaugeres modificacions, es pot formular una caracterisació similar per a ideals cosins en anells no conmutativos. Un subconjunt no buit $S \subseteq R$ es diu un m-sistema si para qualssevol $a$ i $b$ en $S$ , existix $r$ en $R$ tal que $a r b$ està en S.^[7] La següent propietat es pot afegir a la llista de condicions equivalents anterior:

El complement $R ∖ P$ és un m-sistema.

Eixemples

Tot ideal primitiu és primer.
De la mateixa manera que en els anells conmutativos, els ideals maximales són primers, i el conjunt d'ideals cosins també conté ideals primers minimales.
Un anell és un anell primer si i només si l'ideal zero és un ideal primer, i un anell és un domini si i només si l'ideal zero és un ideal completament primer.
Si $A$ és un $R$ -mòdul distint de zero i $P$ és un element maximal en el conjunt parcialment ordenat d'ideals aniquiladores de submòduls de $A$ , llavors $P$ és primer.

Vore també

Referències

↑ Dummit, David S.; Foote, {{{nom2}}} (2004). Abstract Algebra, 3rd edició, John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
↑ Lang, Serge (2002). Algebra, Springer. ISBN 0-387-95385-X.
↑ Reid, Mills (1996). Undergraduate Commutative Algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-45889-7.
↑ Krull, Wolfgang, Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen, Sitzungsberichte Heidelberg. Akad. Wissenschaft (1928), 7. Abhandl.,3-14.
↑ Goodearl, An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings
↑ Lam, First Course in Noncommutative Rings
↑ Òbviament, els conjunts multiplicativamente tancats són m-sistemes.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Ideal primo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Dummit, David S.; Foote, {{{nom2}}} (2004). Abstract Algebra, 3rd edició, John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.

[2] Lang, Serge (2002). Algebra, Springer. ISBN 0-387-95385-X.

[3] Reid, Mills (1996). Undergraduate Commutative Algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-45889-7.

[4] Krull, Wolfgang, Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen, Sitzungsberichte Heidelberg. Akad. Wissenschaft (1928), 7. Abhandl.,3-14.

[5] Goodearl, An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings

[6] Lam, First Course in Noncommutative Rings

[7] Òbviament, els conjunts multiplicativamente tancats són m-sistemes.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]