Element primer

En àlgebra abstracta, un element d'un anell és primer si satisfà una condició similar a l'establida pel lema de Euclides.

Si R és un anell conmutativo, un element p de R és primer si p no és l'element zero p no és una unitat Cada volta que p dividixca a un producte ab, llavors necessàriament dividix a algun dels dos factors: p dividix a a o p dividix a b.

O condensando: Un element k no nul i no invertible d'un anell R es diu primer, si cada volta que k dividix al producte de dos elements de R, també dividix un dels seus factors. Es veu que si a és primer, llavors tot associat de a és primer.

Eixemples:

2 és primer en el conjunt dels número entero, puix si 2 dividix a s×t, llavors s o t és parell, sino de lo contrari el producte seria impar.

5 és primer en el conjunt ℤ dels sancers. Siga que 5 dividix a s×t. Per una atra part, s'assumix que s =5j+m, t = 5k+l, a on 1≤l<5, 1≤m<5 després st = 5(5jk+jl+km) +ml, de modo que 5 dividix a ml . Lo que implica, per les desigualtats incluyentes a l i m, que ml = 0; després m= 0 o be l=0; i aixina 5 dividix a s o 5 dividix a t.

8 no és primer en Z, puix 8 dividix a 4×6 i no dividix a 4, tampoc a 6.

Açò és equivalent a la condició que l'ideal principal generat per l'element p siga un ideal primer distint de zero.

Relació en elements irreducibles

La definició usual de número primo establix que és aquell que només té per factors a sí mateix i a l'unitat. Esta condició es generalisa en teoria d'anells en el concepte d'element irreducible:

R és un anell conmutativo, un element q de R és irreducible si per a qualsevol factorización q=ab llavors algun dels dos factors és una unitat de l'anell.

Un element no nul i no invertible d'un anell es diu irreducible si els seus únics divisores són els elements invertibles de l'anell i els seus propis associats. Eixemple 3 és irreducible en Z, ya que els seus únics divisores són 1, -1, 3, -3.

No obstant, en un domini d'factorización única abdós conceptes són equivalents (un element primer és irreducible i viceversa). No obstant, dita relació no és vàlida en general.

En un domini principal, tot element irreducible és primer.

En Z un element és primer sii és irreducible.

L'anell dels sancers és un domini d'factorización única. D'ahí seguix el TFA

Bibliografia

• John B. Fraleigh (2002). A First Course of Abstract Algebra, 7a edició (en anglés), Addison-Wesley. ISBN 9780201763904.
• Michael Artin (1991). «Factorization», Algebra (en anglés), Prentice Hall. ISBN 0130047635.
• David S. Dummit (2004). Abstract Algebra, 3a edició (en anglés), Wiley. ISBN 0471433349.
• I. Martin Isaacs (2009). Algebra, American Mathematical Society. ISBN 9780821847992.