Element zero

En matemàtiques, un element zero (o també element nul) és una de les vàries generalisacions del número zero a atres estructures algebraiques. Estos significats alternatius poden ser o no coincidentes, segons el context.

Identitats aditivas

Una identitat aditiva queda identificada en l'element neutre en un grup aditiu. Correspon a l'element 0 tal que para tot x del grup, 0 + x = x + 0 = x. Alguns eixemples d'identitat aditiva inclouen:

• El vector zero respecte a l'adició de vectores: el vector de llongitut 0 i els components de la qual són tots 0. A sovint s'indica com $\mathrm{𝟎}$ o $\overrightarrow{0}$.
• La funció zero o aplicació zero definida per z(x) = 0, respecte a la suma puntual (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• El conjunt buit sobre l'unió de conjunts
• Una suma buida o coproducto buit
• Un objecte inicial en una categoria (un coproducto buit i, per lo tant, una identitat sobre els coproductos)

Elements absorbents

Un element absorbent en un semigrupo o semianillo multiplicativo generalisa la propietat 0 ⋅ x = 0. Entre els eixemples s'inclouen:

• El conjunt buit, que és un element absorbent sobre el producte cartesiano de conjunts, ya que { } × S = { }
• La funció zero o aplicació zero definida per z(x) = 0 en la multiplicació puntual (f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x)

Molts elements absorbents també són identitats aditivas, inclós el conjunt buit i la funció zero. Un atre eixemple important és l'element distinguit 0 en un cos o anell, que és tant l'identitat aditiva com l'element absorbent multiplicativo, i que el seu ideal principal és l'ideal més menut.