Elements maximal i minimal
En matemàtiques, especialment en teoria de l'orde, un element maximal d'un conjunt parcialment ordenat A és un element de A que no està per davall (en l'orde corresponent) de cap atre. Un element x ∈ A és maximal sobre la relació (≤) si no existix cap element i ∈ A tal que:
x ≤ i
Análogament, si la relació és del tipo (≥), llavors un element x ∈ A és maximal sobre la relació (≥) si no existix cap element i ∈ A tal que:
i ≥ x
La definició de màxim és, com no podia ser d'una atra manera: m ∈ A és element màxim de si qualsevol atre element en A serà menor o igual que m, és dir, si:
(∀ x ∈ A) : x ≤ m
El terme element minimal es definix de manera dual. En la figura, donat el conjunt A, els elements d, h i l són maximales de A, els elements a, h i k són minimales, els elements maximal i minimal no tenen per qué ser únics en el conjunt. Ademés, l'element h de la figura és maximal i minimal al mateix temps.
Definició
[editar | editar còdic]Siga (P, ≤) un conjunt parcialment ordenat; m ∈ P és un element maximal de P si l'únic x ∈ P tal que m ≤ x és x = m.
La definició d'element minimal s'obté reemplaçant ≤ per ≥.
Propietats
[editar | editar còdic]A primera vista semblaria que m deuria ser un element màxim, lo que no és sempre cert: la definició d'element maximal és alguna cosa més dèbil. De fet, poden existir elements maximales sense que hi haja un màxim. La raó és que, en general, ≤ és només un orde parcial en P; si m és un maximal i p ∈ P, cap la possibilitat de que ni p ≤ m ni m ≤ p, en lo que m no seria màxim. Açò permet, ademés, que hi haja més d'un element maximal en un conjunt.
No obstant, si m ∈ P és maximal i P té un màxim, es complirà que máx(P) ≤ m; per definició de màxim es deu tindre m ≤ máx(P) i per lo tant m = máx(P); en atres paraules, un màxim, si existix, és també l'únic maximal.
No és difícil vore que si ≤ és un orde total en P, les nocions de màxim i maximal coincidixen: siguen m ∈ P un element maximal, i p ∈ P arbitrari; per la condició d'orde total, o be p ≤ m o be m ≤ p; en el segon cas es tindria p = m per definició de maximal, en la qual cosa p ≤ m, i per tant, m = máx(P).
No sempre existixen els elements maximales, ni tan sols en el cas en que P estiga totalment ordenat.
Vore també
[editar | editar còdic]- Element maximal i minimal
- Element màxim i mínim
Referències
[editar | editar còdic]- (1967) Lattice Theory, 2dona edició (en anglés), Estats Units: American Mathematical Society, Colloquium Publications, pp. 423. ISBN 0-8218-1025-1.
- Este artícul conté una traducció derivada de «Elementos maximal y minimal» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.