Producte directe

En teoria de grups, el producte directe de dos grups (G,*) i (H,·), denotat per G &claves; H, és una forma natural de donar-li una estructura de grup al producte cartesiano dels dos conjunts. En el cas de grups abelianos en notació aditiva, també se li crida suma directa, i es denota per $G\oplus H$.

Definició

El producte directe de (G,*) i (H,·) es definix com seguix:

• Com conjunt d'elements del nou grup, prenga's el producte cartesiano dels conjunts G i H; és dir, {(g, h)| g ∈ G, h ∈ H}.
• Com a operació entre estos elements, definixca's:

  $(g,h)\times (g^{\prime },h^{\prime })=(g*g^{\prime },h\cdot h^{\prime }).$

a on la primera component és el producte en G i la segona és el producte en H.

Esta construcció produïx un nou grup, en un subgrup normal isomorfo a G, conformat pels elements de la forma (g,1_H), i un atre isomorfo a H, format pels elements (1_G,h).

L'argument invers també val, com demostra la següent teorema: si un grup K conté dos subgrups normals G i H, tals que K = GH, i G ∩ H = {1}, llavors K és isomorfo a G &claves; H. En debilitar estes condicions s'obté el producte semidirecto.

Propietats

En el producte directe, s'obtenen automàticament alguns homomorfismes naturals, a saber: les funcions de proyecció

${\pi }_1:G\times H\to G\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{o}{\pi }_1(g,h):=g$,

${\pi }_2:G\times H\to H\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{o}{\pi }_2(g,h):=h$

cridades a voltes funciones coordenades.

Tot homomorfisme f sobre un producte directe queda determinat totalment per les seues funcions components $f_i={\pi }_i\circ f$.

El producte directe és conmutativo en el sentit de que els productes G &claves; H és isomorfo a H &claves; G. També és associatiu en un sentit similar:

$(H\times G)\times K\simeq H\times (G\times K).$

Per a qualsevol grup (G,·), i qualsevol sancer n ≥ 0, l'aplicació repetida del producte directe dona el grup de n-tuplas Gⁿ (i el grup trivial per a n = 0).

Referències

Bibliografia

• Dummit; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra, 3ª edició, Wiley. ISBN 978-81-265-3228-5.
• Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups, 4ª edició, Springer.