Producte semidirecto

En la branca matemàtica de la teoria de grups, es denomina producte semidirecto de dos grups a un tercer grup que estén els dos primers baixe certes condicions adicionals. El producte semidirecto de dos grups es denota en el símbol $⋊$. Este producte no és únic, puix depén de l'elecció de certa funció $\phi$, per lo que en ocasions es fa necessari usar el símbol ${⋊}_{\phi }$ per a evitar ambigüitats.

El producte semidirecto de dos grups es caracterisa per tindre dos còpies isomorfas als grups de partida com subgrups, els quals ademés tenen intersecció trivial. Ademés el primer d'ells és un subgrup normal, la qual cosa no és en general cert per al segon; l'orde dels dos grups factors importa en el producte semidirecto.

Definició formal

Sean $H$ i $K$ dos grups qualssevol, i siga $\phi :K\to AutH$ un homomorfisme de grups. Este homomorfisme caracterisa una acció del grup $K$ sobre el grup $H$, que denotem per ${\phi }_k(h)=\phi (k)(h)$. Es denomina producte semidirecto de $H$ i $K$ respecte de $\phi$, i es denota $H{⋊}_{\phi }K$, al grup format per tots els parells

$\{(h,k):h\in Hyk\in K\}$

baixe l'operació definida per

$(h_1,k_1)\cdot (h_2,k_2)=(h_1{\phi }_{k_1}(h_2),k_1{k}_2)$.

El producte semidirecto té les següents propietats:

• L'orde de $H{⋊}_{\phi }K$ és $o(H)\cdot o(K)$.
• El subgrup $\tilde{H}=\{(h,1):h\in H\}$ és isomorfo a $H$ i és normal en $H{⋊}_{\phi }K$.
• El subgrup $\tilde{K}=\{(1,k):k\in K\}$ és isomorfo a $K$.
• Estos dos subgrups tenen intersecció trivial: $\tilde{H}\cap \tilde{K}=\{e\}$, a on $e$ és el neutre de $H{⋊}_{\phi }K$.

El producte directe de grups és un cas particular del producte semidirecto. Es dona precisament quan l'homomorfisme $\phi :K\to AutH$ és trivial, és dir, quan tot element $k\in K$ té per image l'identitat de $AutH$ (que és la funció identitat de $H$). En tal cas i solament en tal cas ${\phi }_k(h)=h$ per a tot parell d'elements $(h,k)$. Ademés, el subgrup $\tilde{K}$ és també normal en el producte directe. El recíproc també és cert, és dir, si abdós $\tilde{H}$ i $\tilde{K}$ són normals en el producte llavors és un producte directe.

Descomposició d'un grup com a producte semidirecto

Donat un grup $G$ que conté un subgrup normal $N$, cal preguntar-se si $G$ pot formar-se com a producte semidirecto de $N$ en un atre grup o, més formalment, si $G$ és isomorfo a un producte semidirecto $N{⋊}_{\phi }Q$, per a cert grup $Q$ i un homomorfisme $\phi :Q\to AutN$.

Considere's un subgrup $H$ (no necessàriament normal) d'un grup $G$. Es diu que un subgrup $K\subseteq G$ és un complement de $H$ si es complix qualsevol de les dos condicions equivalents:

1. $G=HK$ i $H\cap K=\{e\}$ (sent i l'element neutre de G).
2. $\mathrm{\forall }g\in G$ existixen elements $h\in H,k\in K$ únics tals que $g=hk$.

Siga ara un subgrup normal $N◃G$; es diu que $G$ és un producte semidirecto de $N$ i $Q$, escrit com $G=N⋊Q,$ si $N$ té un complement $Q^{\prime }\simeq Q$ en $G$. En tal cas es diu que G es partix sobre N o que G es descompon sobre N.

No tot subgrup normal té complement, i si ho té, no té per qué ser necessàriament únic. No obstant, tots els complements d'un subgrup normal $N$ (quan existixen) són isomorfos entre sí, ya que pels teoremes de isomorfía:

$G/N=NQ/N\simeq Q/(N\cap Q)=Q/1\simeq Q$.

Caracterisació equivalents

Donat un subgrup normal $N◃G$, les següents proposicions són equivalents:

1. $G$ és un producte semidirecto de $N$ i $G/N$.
2. $N$ té un complement $Q\subset G$.
3. Existix un subgrup $Q\subset G$ tal que cada element $g\in G$ es pot expressar de forma única com $g=ax$, a on $a\in N$ i $x\in Q$.
4. Existix un homomorfisme $s:G/N\to G$ tal que $v\circ s:G/N\to G/N=id$, a on $v:G\to G/N$ és la proyecció natural.
5. Existix un homomorfisme $\pi :G\to G$ tal que $ker\pi =N$ i $\pi (x)=x$ para tot $x\in im\pi$ (una aplicació que satisfà estes condicions es diu que és una retracció de $G$).

Estes condicions són útils per a determinar si un grup és el producte semidirecto de dos dels seus subgrups. En canvi, la definició formal permet construir un producte semidirecto de dos grups arbitraris, no necessàriament subgrups d'un grup comú.

Vore també

• Extensió de grup.
• Producte directe.
• Série de composició.

Referències

Bibliografia

• Dummit; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra, 3ª edició, Wiley. ISBN 978-81-265-3228-5.
• Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups, 4ª edició, Springer.
• Brown (2006). Topology and groupoids, Booksurge. ISBN 1-4196-2722-8.