Fes de densitat

En matemàtiques, i específicament en geometria diferencial, una densitat és una cantitat que varia espacialment en una varietat diferenciable, que pot ser integrada de manera intrínseca. En resum, una densitat és una secció d'un determinat fes de rectes, cridat fes de densitat. Un element del fes de densitat en x és una funció que assigna un volum per al paralelotopo comprés pels n vectores tangentes donats en x.

Des del punt de vista operatiu, una densitat és una colecció de funcions sobre una varietat topològica que es multipliquen pel valor absolut del determinant jacobiano quan es produïx un canvi de coordenades. Les densitat es poden generalisar en s-densitat, les representacions de les quals de coordenades es multipliquen per la s-ésima potència del valor absolut del determinant jacobiano. En una varietat orientada, les densitat d'orde 1 es poden identificar canónicamente en n-formes en M. En varietats no orientables esta identificació no es pot fer, ya que el fes de densitat és el producte tensorial del fes d'orientació de M i el n-ésimo fes del producte exterior de TPlantilla:Sup M (vore seudotensor).

Motivació (densitat en espais vectorials)

En general, no existix un concepte natural de volum per a un paralelotopo generat per vectores v₁, ..., v_n en un espai vectorial V de n dimensions. No obstant, si es desija definir una funció μ : V × ... × V → R que assigne un volum a qualsevol paralelotopo, deu satisfer les següents propietats:

• Si algun dels vectores v_k es multiplica per λ ∈ R, el volum es deu multiplicar per |λ|.
• Si qualsevol combinació llineal dels vectores v₁, ..., v_j−1, v_j+1, ..., v_n se sumixca al vector v_j , el volum deu permanéixer invariante.

Estes condicions són equivalents a l'afirmació de que μ està donada per una mida invariante de translació en V, i es poden reformular com

$\mu (A{v}_1,\dots ,A{v}_n)=|\det A|\mu (v_1,\dots ,v_n),A\in \mathrm{GL}(V).$

Qualsevol aplicació μ : V × ... × V → R d'este tipo es denomina densitat en l'espai vectorial V. Tinga's en conte que si (v₁, ..., v_n) és alguna base per a V, llavors disponent μ(v₁, ..., v_n) solucionarà μ per complet. D'això es deduïx que el conjunt Vol(V) de totes les densitat en V forma un espai vectorial unidimensional. Qualsevol forma n ε en V definix una densitat Plantilla:Absf en V per

$|\omega |(v_1,\dots ,v_n):=|\omega (v_1,\dots ,v_n)|.$

Orientacions en un espai vectorial

El conjunt Or(V) de totes les funcions o : V × ... × V → R que satisfan

$o(A{v}_1,\dots ,A{v}_n)=\mathrm{sign}(\det A)o(v_1,\dots ,v_n),A\in \mathrm{GL}(V)$

forma un espai vectorial unidimensional, i una orientació en V és un dels dos elements o ∈ Or(V) tal que Plantilla:Absf= 1 per a qualsevol v₁, ..., v_n linealment independent. Qualsevol n- forma distinta de zero ω en V definix una orientació o ∈ Or(V) tal que

$o(v_1,\dots ,v_n)|\omega |(v_1,\dots ,v_n)=\omega (v_1,\dots ,v_n),$

i viceversa, qualsevol o ∈ Or(V) i qualsevol densitat μ ∈ Vol(V) definixen una n-forma ω en V per

$\omega (v_1,\dots ,v_n)=o(v_1,\dots ,v_n)\mu (v_1,\dots ,v_n).$

En térmens d'espais de productes tensoriales,

$\mathrm{Or}(V)\otimes \mathrm{Vol}(V)={\bigwedge }^n{V}^{*},\mathrm{Vol}(V)=\mathrm{Or}(V)\otimes {\bigwedge }^n{V}^{*}.$

Densitat s en un espai vectorial

Les densitat s en V són funcions μ : V × ... × V → R tals que

$\mu (A{v}_1,\dots ,A{v}_n)={|\det A|}^s\mu (v_1,\dots ,v_n),A\in \mathrm{GL}(V).$

De la mateixa manera que les densitat, les densitat s formen un espai vectorial unidimensional Vol^s(V), i qualsevol forma n ω en V definix una densitat s |ω|^s en V per

$|\omega {|}^s(v_1,\dots ,v_n):=|\omega (v_1,\dots ,v_n){|}^s.$

El producte de les densitat s₁- i s₂ μ₁ i μ₂ formen una (s₁+s₂)-densitat μ per

$\mu (v_1,\dots ,v_n):={\mu }_1(v_1,\dots ,v_n){\mu }_2(v_1,\dots ,v_n).$

En térmens d'espais de productes tensoriales este fet es pot expressar com

${\mathrm{Vol}}^{s_1}(V)\otimes {\mathrm{Vol}}^{s_2}(V)={\mathrm{Vol}}^{s_1+s_2}(V).$

Definició

Formalment, el fes de densitat s Vol^s(M) d'una varietat diferenciable M s'obté per mig de la construcció d'un fibrado associat, entrellaçant la representació de grup unidimensional

$\rho (A)={|\det A|}^{-s},A\in \mathrm{GL}(n)$

del grup llineal general en el fes de sistemes de referència de M.

El fes de llínees resultant es coneix com fes de densitat s i es denota per

${\left|\Lambda \right|}_M^s={\left|\Lambda \right|}^s(TM).$

Una 1-densitat també es coneix simplement com a densitat.

De manera més general, la construcció del fes associat també permet obtindre densitat a partir de qualsevol fibrado vectorial I en M.

En detalle, si (O_α,φ_α) és un atles de varietats topològiques en M, llavors hi ha associat un fibrado de ${\left|\Lambda \right|}_M^s$

$t_{\alpha }:{\left|\Lambda \right|}_M^s{|}_{U_{\alpha }}\to {\varphi }_{\alpha }(U_{\alpha })\times ℝ$

subordinat al recobriment obert O_α de modo que el cociclo GL(1) associat satisfaça

$t_{\alpha \beta }={|\det (d{\varphi }_{\alpha }\circ d{\varphi }_{\beta }^{-1})|}^{-s}.$

Bibliografia

• (2004).«Heat Kernels and Dirac Operators».Springer Science+Business Mija.Berlin, New York:.
• (1999).«Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications».
• (1996).«Lectures on the geometry of manifolds».World Scientific Publishing Co. Inc..River Edge, NJ:
• (2003).«Introduction to Smooth Manifolds».Springer Science+Business Mija.