Tensor d'espin

En matemàtiques, física matemàtica i física teòrica, el tensor d'espin és una cantitat utilisada per a descriure el moviment de rotació de les partícules en l'espai-temps. Té aplicació en la relativitat general i en la teoria de la relativitat especial, aixina com en mecànica quàntica, mecànica quàntica relativista i en la teoria quàntica de camps.

El grup euclídeo SE(d) d'isometría directes és generat per translacions i rotacions. El seu àlgebra de Lie es denota com $𝔰𝔢(d)$.

Este artícul utilisa coordenades cartesianas i notació tensorial indexada.

Antecedents de les corrents de Noether

El teorema de Noether per a translacions en l'espai s'assimila en l'impuls, mentres que la corrent per a increments en el temps s'identifica en l'energia. Estes dos afirmacions es combinen en una sola en l'espai-temps: les translacions en l'espai-temps, és dir, un desplaçament entre dos events, són generades pel cuadri-moment P. La conservació del cuadri-impuls ve donada per l'equació de continuïtat:

${\partial }_{\nu }{T}^{\mu \nu }=0,$

a on $T^{\mu \nu }$ és el tensor d'energia-impulse i ∂ són les derivades parcials que componen el cuadrigradiente (en coordenades no cartesianas, deu reemplaçar-se per una derivada covariant). Integrant sobre l'espai:

$\int d^{3}x{T}^{\mu 0}(\overrightarrow{x},t)=P^{\mu }$

s'obté el vector del cuadrimomento en l'instant t.

La corrent de Noether per a una rotació al voltant del punt i ve donada per un tensor de tercer orde, denominat $M_y^{\alpha \beta \mu }$. Per les relacions del àlgebra de Lie

$M_y^{\alpha \beta \mu }(x)=M_0^{\alpha \beta \mu }(x)+y^{\alpha }{T}^{\beta \mu }(x)-y^{\beta }{T}^{\alpha \mu }(x),$

a on el subíndex 0 indica l'orige (a diferència del moment, el moment angular depén de l'orige). L'integral:

$\int d^{3}x{M}_0^{\mu \nu }(\overrightarrow{x},t)$

permet obtindre el tensor de moment angular $M^{\mu \nu }$ en l'instant t.

Definició

El tensor d'espin es definix en un punt x com el valor de la corrent de Noether en x d'una rotació al voltant de x,

$S^{\alpha \beta \mu }(𝐱)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{M}_x^{\alpha \beta \mu }(𝐱)=M_0^{\alpha \beta \mu }(𝐱)+x^{\alpha }{T}^{\beta \mu }(𝐱)-x^{\beta }{T}^{\alpha \mu }(𝐱)$

L'equació de continuïtat

${\partial }_{\mu }{M}_0^{\alpha \beta \mu }=0,$

implica que:

${\partial }_{\mu }{S}^{\alpha \beta \mu }=T^{\beta \alpha }-T^{\alpha \beta }\ne 0$

i per lo tant, el tensor d'energia-impulse no és simètric.

La cantitat S és la densitat d'espin del moment angular (el gir en este cas no és solament d'una partícula puntual, sino també per a un sòlit en extensió), i M és la densitat del moment angular orbital. El moment angular total és sempre la suma de les contribucions de l'espin i de les òrbites de gir.

La relació:

$T_{ij}-T_{ji}$

dona la densitat del parell, que mostra la taxa de conversió entre el moment angular orbital i l'espin.

Vore també

• Tensor de tensió-energia de Belinfante-Rosenfeld
• Grup de Poincaré
• Grup de Lorentz
• Moment angular relativiste
• Equacions de Mathisson-Papapetrou-Dixon
• Seudovector de Pauli-Lubanski

Bibliografia

• (2003) General Relativity, Astrophysics, and Cosmology, Springer, pp. 66–67. ISBN 978-038-740-628-2.
• (1973) Gravitation, W.H. Freeman & Co, pp. 156–159, §5.11. ISBN 978-0-7167-0344-0.
• “Localizing the Angular Momentum of Linear Gravity” (2012). Phys. Rev. D 86 (8): 084012. doi:10.1103/PhysRevD.86.084012. Bibcode: 2012PhRvD..86h4012B.
• S. Kopeikin, M.Efroimsky, G. Kaplan. Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System, John Wiley & Sons.
• “A spinor approach to the Lanczos spin tensor” (1968). Il Nuovo Cimente A 57 (4): 638–648. Springer. doi:10.1007/BF02751371. Bibcode: 1968NCimA..57..638M.