Grup euclídeo

En matemàtiques, un grup euclídeo és el grup característic de les isometrías d'un espai euclídeo 𝔼ⁿ; és dir, de les transformacions d'eixe espai que preserven la distància euclidiana entre qualsevol parell de punts (també cridades transformacions euclideas). La configuració del grup depén únicament de la dimensió n de l'espai, i comunament es denota com I(n) o ISO(n).

El grup euclídeo I(n) comprén totes les translacions, rotacions i reflexions de 𝔼ⁿ; i les combinacions finitas arbitràries d'estes transformacions. El grup euclidiano pot vore's com el grup de simetria de l'espai en sí, i conté el grup de simetria de qualsevol figura (subconjunt) d'eixe espai.

Una isometría euclidiana pot ser directa o indirecta, depenent de si conserva la paritat de les figures. Les isometría euclidianas directes formen un subgrup, el grup euclidiano especial, els elements del qual es denominen moviments rígits o moviments euclidianos. Comprenen combinacions arbitràries de translacions i rotacions, pero no de reflexions.

Este grup està entre els més antics, a lo manco en els casos de dimensió 2 i 3 , sent implícitament estudiats molt abans de que s'ideara el concepte de grup.

Visió general

Dimensionalidad

El número de graus de llibertat en I (n) és n(n + 1)/2, que dona 3 en el cas n = 2, i 6 per a n = 3. D'estos, n poden atribuir-se a la simetria traslacional disponible, i el n(n − 1)/2 restant a la simetria rotacional.

Isometría directes i indirectes

Les isometría directes (és dir, les isometría que preserven l'orientació dels subconjunts quirales) comprenen un subgrup d'I(n), cridat grup especial euclidiano i generalment denotat per I⁺(n) o SE (n). Inclouen les translacions i rotacions, i les combinacions de les mateixes; incloent la transformació identitat, pero excloent qualsevol reflexió.

Les isometría que invertixen l'orientació es diuen indirectes. Per a qualsevol isometría indirecta fixa R, definida com una reflexió sobre algun hiperplano, qualsevol atra isometría indirecta pot obtindre's per mig de la composició de R en alguna isometría directa. Per lo tant, les isometría indirectes són una classe lateral d'I⁺ (n), que pot ser denotada per I⁻(n). D'això es deduïx que el subgrup I⁺(n) és d'índex 2 en I(n).

Topología del grup

La topología natural de l'espai euclídeo 𝔼ⁿ implica una topología per al grup euclídeo I(n). A saber, una seqüència f_i d'isometría de 𝔼ⁿ (i∈ℕ) es definix com a convergent si i solament si, per a qualsevol punt p de 𝔼ⁿ, la seqüència de punts p _i convergix.

D'esta definició es deduïx que una funció f: [0,1] → I(n) és contínua si i solament si, per a qualsevol punt p de 𝔼ⁿ, la funció f_p: [0,1] → 𝔼ⁿ definida per f_p(t) = (f(t)) (p) és contínua. Dita funció es denomina "trayectòria contínua" en I(n).

Resulta que el grup euclidiano especial SE(n)=I⁺(n) està conectat en esta topología. És dir, daus dos isometría directes A i B de 𝔼ⁿ, hi ha una trayectòria contínua f en I (n) tal que f(0)=A i f(1)=B. Lo mateix és cert per a les isometría indirectes I⁻(n). Per un atre costat, el grup I(n) en el seu conjunt no està conectat: no hi ha una trayectòria contínua que comence en I⁺(n) i finalise en I⁻(n).

Les trayectòries contínues en I(3) juguen un paper important en mecànica clàssica, perque descriuen els moviments físicament possibles d'un cos rígit en l'espai tridimensional en el temps. Es pren f(0) com la funció identitat I de 𝔼³, que descriu la posició inicial del cos. La posició i orientació del cos en qualsevol moment posterior t serà descrita per la transformació f(t). Ya que f(0)=I està en I⁺(3), lo mateix deu ser cert per a f(t) per a qualsevol moment posterior. Per esta raó, les isometría euclidianas directes també es denominen moviments rígits.

Estructura de Lie

Els grups euclidianos no són sol grups topològics, sino que són Grups de Lie, de modo que les nocions del càlcul infinitesimal es poden adaptar immediatament a esta configuració.

Relació en el grup afí

El grup euclídeo I(n) és un subgrup del grup afí de dimensió n, i de tal manera que respecte l'estructura del producte semidirecto d'abdós grups. Açò dona, a fortiori, dos formes d'escriure estos elements en una notació explícita. Estes són:

1. Per mig d'un parell (A, b), sent A una matriu ortogonal d'orde n × n, i b un vector columna real de tamany n
2. Utilisant una sola matriu quadrada de tamany n + 1, com s'explica per al grup afí.

Els detalls de la primera representació es donen en la següent secció.

Segons els térmens del Programa de Erlangen formulats per Felix Klein, es deduïx que la geometria euclidiana, la geometria del grup euclidiano de simetria, és, per lo tant, una especialisació de la geometria afí, i s'apliquen totes les teoremes afins. L'orige de la geometria euclidiana permet definir la noció de distància, a partir de la qual es pot deduir el concepte d'àngul.

Discussió detallada

Estructura de subgrups, matriu i representació vectorial

El grup euclidiano és un subgrup del grup de transformacions afins.

Té com a subgrups el grup traslacional T(n) i el grup ortogonal O(n). Qualsevol element d'I(n) és una translació seguida d'una transformació ortogonal (la part llineal de la isometría), d'una manera única:

$x\mapsto A(x+b)$ (a on A és un matriu ortogonal)

o la mateixa transformació ortogonal seguida d'una translació:

$x\mapsto Ax+c,$

en c = Ab

T(n) és un subgrup normal d'I(n): per a qualsevol translació t i qualsevol isometría o, es té

o⁻¹el teu

de nou una translació (es pot dir, a través d'un desplaçament que és o, que actua sobre el desplaçament t; una translació no afecta a un desplaçament, per lo que de manera equivalent, el desplaçament és el resultat de la part llineal de la isometría actuant sobre t).

Junts, estos fets impliquen que I(n) és el producte semidirecto d'O(n) estés per T(n), que s'escriu com $\text{E}(n)=\text{T}(n)⋊\text{O}(n)$. En atres paraules, O(n) és (de manera natural) també el grup cocient d'I(n) per T(n):

$\text{O}(n)\cong \text{E}(n)/\text{T}(n)$

Ara SO(n), el grup ortogonal, és un subgrup d'O (n), d'índex dos. Per lo tant, I(n) té un subgrup I⁺(n), també d'índex dos, que consistix en isometría directes. En estos casos el determinant de A és 1.

Es representen com una translació seguida per un moviment de rotació, en lloc d'una translació seguida per algun tipo de reflexió (en les dimensions 2 i 3, estes són les familiars reflexions respecte a una llínea o a un espill pla, que es poden prendre per a incloure l'orige de coordenades, o en 3D, una rotoreflexión).

Esta relació s'escriu comunament com:

$\text{SO}(n)\cong {\text{E}}^{+}(n)/\text{T}(n)$

o de forma equivalent:

${\text{E}}^{+}(n)=\text{SO}(n)⋉\text{T}(n)$.

Subgrups

Tipos de subgrups d'I(n):

Grups finitos

Sempre tenen un punt fix. En 3D, per a cada punt i orientació, hi ha dos que són màximes (sobre l'inclusió) entre els grups finitos: O_h i I_h. Els grups I_h són inclús màxims entre els grups, inclosa la categoria següent.

Grups numerables infinits sense translacions, rotacions o combinacions arbitrariamente menudes

És dir, per a cada punt, el conjunt d'imàgens baixe les isometría és topológicamente discret (per eixemple, per a 1 ≤ m ≤ n un grup generat per m translacions en direccions independents, i possiblement un grup de punts finitos). Açò inclou a les retículas. Eixemples més generals que estos són els grups espacials discrets.

Grups numerables infinits en translacions, rotacions o combinacions arbitrariamente menudes

En este cas, hi ha punts per als que el conjunt d'imàgens baixe les isometría no està tancat. Eixemples de tals grups són, en 1D, el grup generat per una translació d'1 o un generat per Plantilla:Raïl, i, en 2D, el grup generat per una rotació sobre l'orige d'1 radián.

Grups no numerables, a on hi ha punts per als que el conjunt d'imàgens baixe les isometría no està tancat

Per eixemple, en 2D, totes les translacions en una direcció i totes les translacions segons distàncies racionals en una atra direcció.

Grups no numerables, a on para tots els punts es tanca el conjunt d'imàgens baixe les isometría

Per eixemple:

• Totes les isometría directes que mantenen l'orige fix, o més generalment, algun punt fix (en 3D cridat grup de rotació)
• Totes les isometría que mantenen l'orige fix, o més generalment, algun punt (el grup ortogonal)
• Totes les isometría directes I⁺(n)
• Tot el grup euclidiano I(n)
• Un d'estos grups en un subespacio m dimensional combinat en un grup discret d'isometría en l'espai dimensional ortogonal (n-m)
• Un d'estos grups en un subespacio m dimensional combinat en un atre en l'espai (n-m) dimensional ortogonal

Eixemples en 3D de combinacions:

• Totes les rotacions sobre un eix fix
• Ídem, combinades en la reflexió en plans a través de l'eix i / o un pla perpendicular a l'eix
• Ídem, combinades en una translació discreta sobre l'eix o en totes les isometría sobre l'eix
• Un grup de punts discret, grup de friso o grup de paper pintat en un pla, combinat en qualsevol grup de simetria en la direcció perpendicular
• Totes les isometría que són una combinació d'una rotació al voltant d'algun eix i una translació proporcional en l'eix; en general, açò es combina en isometría rotacionales de k-lòbuls sobre el mateix eix (k ≥ 1); el conjunt d'imàgens d'un punt baix les isometría és un k-doble helicoide; ademés, pot haver una rotació de 2 voltes al voltant d'un eix que es interseca perpendicularment, i per lo tant un helicoide en k lòbuls respecte a tals eixos.
• Per a qualsevol grup de punts, el grup de totes les isometría que són una combinació d'una isometría en el grup de punts i una translació. Per eixemple, en el cas del grup generat per inversió en l'orige: el grup de totes les translacions i inversió en tots els punts. Est és el grup diedral generalisat de R³, denominat Dih(R³).

Resum d'isometría en fins a tres dimensions

I(1), I(2) i I(3) es poden classificar de la següent manera, segons les seues graus de llibertat:

Isometría d'I(1)

Tipo d'isometría	Graus de llibertat	Preserva l'orientació
Identitat	0	Sí Translació 1 Sí Reflexió en un punt 1 No Isometría d'I(2) Tipo d'isometría Graus de llibertat Preserva l'orientació Identitat 0 Sí Translació 1 Sí Translació 2 Sí Rotació al voltant d'un punt 3 Sí Reflexió respecte a una llínea 2 No Reflexió esgolada 3 No Vore també: Isometría afí Isometría d'I(3) Tipo d'isometría Graus de llibertat Preserva l'orientació Identitat 0 Sí Translació 3 Sí Rotació respecte a un eix 5 Sí Eix helicoidal 6 Sí Reflexió respecte a un pla 3 No Reflexió esgolada planar operació 5 No Rotació impròpia 6 No Inversió respecte a un punt 3 No El teorema de Chasles afirma que qualsevol element d'I+(3) és assimilable a un eix helicoidal. Vegen-se també les isometría en 3D que deixen l'orige fix, el grup espacial, i l'involució. Isometría de conmutación Per a alguns parells d'isometría, la composició no depén de l'orde: Dos translacions Dos rotacions o moviments helicoidals sobre el mateix eix Reflexió sobre un pla, i una translació en eixe pla, una rotació al voltant d'un eix perpendicular al pla, o una reflexió sobre un pla perpendicular Reflexió esgolada sobre un pla, i una translació en eixe pla Inversió en un punt i qualsevol isometría mantenint el punt fix Rotació de 180° al voltant d'un eix i reflexió en un pla a través d'eixe eix Rotació de 180° al voltant d'un eix i rotació de 180° al voltant d'un eix perpendicular (dona com resultat una rotació de 180° al voltant de l'eix perpendicular a abdós) Dos rotorreflexiones sobre el mateix eix, sobre el mateix pla. Dos reflexions en esmonyida planar sobre el mateix pla. Classes de conjugació Les translacions per una distància donada en qualsevol direcció formen una conjugació; el grup de translació és l'unió d'estes para totes les distàncies. En 1D, totes les reflexions estan en la mateixa classe. En 2D, les rotacions en el mateix àngul en qualsevol direcció estan en la mateixa classe. Les reflexions esgolades en translació per la mateixa distància es troben en la mateixa classe. En 3D: Les inversions sobre tots els punts estan en la mateixa classe Les rotacions en el mateix àngul estan en la mateixa classe Les rotacions sobre un eix combinades en la translació en eixe eix estan en la mateixa classe si l'àngul és el mateix i la distància de translació és la mateixa. Les reflexions en un pla estan en la mateixa classe Les reflexions en un pla combinades en la translació en eixe pla per la mateixa distància estan en la mateixa classe Les rotacions al voltant d'un eix en el mateix àngul no igual a 180°, combinades en la reflexió en un pla perpendicular a eixe eix, estan en la mateixa classe Vore també Isometría afí Grup de Poincaré Simetria central Pla de rotació Referències Cederberg, Judith N. (2001). A Course in Modern Geometries, pp. 136–164. ISBN 978-0-387-98972-3. William Thurston. Geometria tridimensional i topología. Vol. 1 . Editat per Silvio Levy. Princeton Mathematical Séries, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x + 311 pp. ISBN 0-691-08304-5