Simetria traslacional

Archiu:Translation of a set.svg

Per a funcions en simetria traslacional es complix que $f(A)=f(A+t)$. La mida de Lebesgue és un eixemple d'estes funcions.

En geometria, traslladar una figura geomètrica és moure-la d'un lloc a un atre sense rotarla. Matemàticament, una translació «esgola» un element segons la relació a: T_a(p) = p + a. En física i matemàtiques, la simetria traslacional contínua és l'invariancia d'un sistema d'equacions baixe qualsevol translació. La simetria traslacional discreta és invariante baix translació discreta.

Análogament, en l'estudi de funcions es diu que un operador A és invariablement traslacional sobre un operador de translació $T_{\delta }$ si el resultat despuix d'aplicar A no canvia si la funció de l'argument es trasllada. Més precisament, deu verificar que

$\mathrm{\forall }\delta Af=A(T_{\delta }f).$

Les lleis de la física són invariablement traslacionales baixe una translació espacial si no es distinguixen diferents punts en l'espai. Segons el teorema de Noether, la simetria traslacional espacial d'un sistema físic és equivalent a la llei de conservació del moment.

La simetria traslacional d'un objecte significa que una translació particular no canvia l'objecte. Per a un objecte donat, les translacions a les que s'aplica açò formen un grup, el grup de simetria de l'objecte o, si l'objecte té més tipos de simetria, un subgrup del grup de simetria.

Geometria

La invariancia traslacional implica que, a lo manco en una direcció, l'objecte és infinit: per a qualsevol punt p, el conjunt de punts en les mateixes propietats per la simetria traslacional formen el conjunt discret infinit {p + na | n ∈ Z } = p + Z a. Els dominis fonamentals són, per eixemple, H + [0, 1]a para qualsevol hiperplano H per al que a té una direcció independent. Açò és en 1D (en una dimensió) un segment de recta, en 2D una franja infinita i en 3D una llosa, de modo que el vector que comença en un costat termina en l'atre costat. Tinga's en conte que la tira i la llosa no necessiten ser perpendiculars al vector, per lo tant, poden ser més estretes o més primes que la llongitut del vector.

En espais en una dimensió superior a 1, pot haver simetria traslacional múltiple. Per a cada conjunt de k vectores de translació independents, el grup de simetria és isomorfo en Z^k. En particular, la multiplicitat pot ser igual a la dimensió. Açò implica que l'objecte és infinit en totes les direccions. En este cas, el conjunt de totes les translacions forma una ret. Les diferents bases dels vectores de translació generen la mateixa ret si i solament si una es transforma en l'atra per mig d'una matriu de coeficients sancers que el seu valor absolut del determinant és 1. El valor absolut del determinant de la matriu formada per un conjunt de vectores de translació és el hipervolumen del paralelepípede n-dimensional dels subtendidos del conjunt (també cridat covolumen de la ret). Este paralelepípede és un domini fonamental de la simetria: qualsevol patró sobre ell o dins d'ell és possible, i açò definix l'objecte complet. Vore també celosía (grup).

Per eixemple, en 2D, en lloc de a i b també es poden prendre a i a − b, etc. En general, en 2D es pot prendre pa + qb i ra + sb per a sancers p, q, r i s tals que ps − qr és 1 o −1. Açò assegura que a i b en sí són combinacions llineals d'número entero dels atres dos vectores. Si no, no totes les translacions són possibles en l'atre parell. Cada parell a, b definix un paralelogramo, tots en la mateixa àrea, la magnitut del producte vectorial. Un paralelogramo definix completament tot l'objecte. Sense més simetria, este paralelogramo és un domini fonamental. Els vectores a i b poden ser representats per número complejo. Per a dos punts donats d'una ret, l'equivalència d'opcions d'un tercer punt per a generar una forma de ret està representada pel grup modular, vore ret (grup).

Alternativament, per eixemple, un rectàngul pot definir l'objecte complet, inclús si els vectores de translació no són perpendiculars, si té dos costats paralels a un vector de translació, mentres que l'atre vector de translació que comença en un costat del rectàngul termina en el costat opost.

Per eixemple, considere's un mosaic en teselas rectangulars iguals, decorades en un patró asimètric, totes orientades de la mateixa manera, en files, i per a cada fila en un desplaçament (sempre ele mateix) d'una fracció (no la mitat) d'un mosaic. Llavors es tindrà solament simetria traslacional, del grup del paper pintat ''p''1 (lo mateixa s'aplica sense desplaçament). En la simetria rotacional d'orde dos del patró en el mosaic es té p2 (una major simetria del patró en la tesela no canvia este fet, per la disposició de les teselas). El rectàngul és una unitat més convenient per a considerar com a domini fonamental (o un conjunt de dos d'ells) que un paralelogramo que consistixca en part d'una tesela i part d'una atra.

En 2D pugues haver simetria traslacional en una direcció per a vectores de qualsevol llongitut. Una recta, no en la mateixa direcció, definix completament l'objecte complet. De manera similar, en 3D pugues haver simetria traslacional en una o dos direccions per a vectores de qualsevol llongitut. Un pla (secció travessera) o llínea, respectivament, definixen completament l'objecte complet.

Eixemples

Text

Un eixemple de simetria traslacional en una direcció en 2D número 1) és:

Nota: L'eixemple no posseïx simetria rotacional.

eixemple eixemple
  eixemple eixemple
    eixemple eixemple
      eixemple eixemple

(s'obté el mateix resultat movent una llínea cap a avall i dos posicions cap a la dreta), i de simetria traslacional en dos direccions en 2D (grup del paper pintat p1):

* |* |* |* |
 |* |* |* |*
|* |* |* |*
* |* |* |* |
 |* |* |* |*
|* |* |* |* 

(s'obté lo mateix movent tres posicions cap a la dreta, o una llínea cap a avall i dos posicions cap a la dreta; en conseqüència, s'obté també lo mateix movent tres llínees cap a avall).

En abdós casos no hi ha simetria d'image especular ni simetria rotacional.

Per a una translació donada de l'espai es pot considerar la translació corresponent dels objectes. Els objectes en a lo manco la simetria traslacional corresponent són els punts fixos d'este últim, que no deuen confondre's en els punts fixos de la translació de l'espai, que no existixen.

Càlcul

Archiu:Translation invariance of less-than-relation.svg

La relació "menor que" en els número real, és invariante baix translació.

• La transformada de Fourier en el càlcul posterior de valors absoluts és un operador invariante de translació.
• L'aplicació que fa correspondre una funció polinòmica al grau polinòmic és una funció invariante de translació.
• La mida de Lebesgue és una mida completa invariante per translació.

Vore també

• Reflexió esgolada
• Desplaçament
• Funció periòdica
• Ret (grup)
• Operador de translació (mecànica quàntica)
• Simetria rotacional
• Simetria de Lorentz
• Mosaic

Bibliografia

• Stenger, Victor J. (2000) i MahouShiroUSA (2007). Realitat atemporal . Prometheus Books. Especialment chpt. 12) No tècnic.