Simetria rotacional
_p%C3%A5_Viren,_Tingsryds_kn_0258.jpg){kind=link}
La simetria rotacional és la propietat que posseïx una forma quan té el mateix aspecte despuix d'aplicar-li una rotació per mig d'un gir parcial. El grau de simetria rotacional d'un objecte és el número d'orientacions distintes en les que es veu igual que en la seua posició inicial.[1]
Coneguda com simetria radial en biologia[2] (en abundants eixemples en botànica, com la majoria de les flors, o en zoologia, com el grup dels equinoderms), és també una característica fonamental en cristalografia i en la configuració molecular de numerosos composts químics (com el benceno).
Tractament formal
[editar | editar còdic]Formalment, la simetria rotacional és un tipo de simetria relacionada en alguns o en tots els moviments de rotació en un espai euclídeo m-dimensional. Les simetria rotacionales són isometría directes, és dir, isometrías que conserven l'orientació. Per lo tant, el grup de simetrias rotacionales d'un espai euclideo de dimensió m, és en particular un subconjunt de I+(m), el conjunt de les transformacions isomètriques de l'espai euclideo que conserven l'orientació (vore grup euclídeo).
Un espai que posseïx simetria sobre qualsevol rotació des de qualsevol dels seus punts, també posseïx simetria traslacional respecte a qualsevol translació, i es denomina espai homogéneu. El seu conjunt de simetria associades coincidix en el grup complet I(m) (que inclou les isometría que conserven l'orientació i les que no). En la noció modificada de simetria per a camps vectorials, el grup de simetria es definix com I+(m), en el que no s'inclou la simetria especular, ya que no conserva l'orientació.[3]
Per a la simetria sobre les rotacions sobre un punt, pot prendre's eixe punt com a orige. Estes rotacions formen el grup ortogonal especial SO (m), el grup de transformacions geomètriques representades per matrius ortogonals de dimensió m×m en determinant de valor 1.[4] Per a m = 3 est és el grup de rotació SO(3).
El subconjunt de simetria rotacionales d'un objecte donat, es correspon en aquelles de totes les seues simetria que també pertanyen a I+(n), el grup d'isometría directes; o lo que és lo mateix, es correspon en l'intersecció del conjunt de totes les seues simetria, en el grup de les isometría directes de l'espai euclideo.
Per a objectes quirales, el seu subconjunt de simetria rotacionales coincidix en el conjunt de totes les seues simetria.
Les lleis de la física presenten isotropía (invarianza SO(3)) quan no distinguixen diferents direccions en l'espai.[5] Pel teorema de Noether, la simetria de rotació d'un sistema físic és equivalent a la llei de conservació del moment angular.
Simetria rotacional discreta
[editar | editar còdic]Es diu que un objecte presenta simetria rotacional d'orde n, també cridada simetria rotacional de n-plegues, o simetria rotacional discreta d'orde n, sobre un punt particular (en 2D) o un eix (en 3D), quan existix una rotació en un àngul de 360°/n (180°, 120°, 90°, 72°, 60°, 51 Plantilla:Frac°, etc.) que no canvia l'objecte donat. Deu tindre's en conte que la simetria rotacional d'orde "1" no és una simetria pròpiament dita (ya que tots els objectes són idèntics a sí mateixos despuix d'una rotació de 360°).
La notació per a una simetria rotacional d'orde n és Cn o simplement n. El grup de simetria real està especificat pel punt o eix de simetria, junt en el número n. Per a cada punt o eix de simetria, el tipo de grup abstracte és un grup cíclico d'orde n, Zn. Encara que per a este últim també s'usa la notació Cn, es deuen distinguir el Cn geomètric i l'abstracte: hi ha atres grups de simetria del mateix tipo de grup abstracte que són geomètricament diferents, com els grups cíclicos simètrics en 3D.[6]
El domini fonamental és un sector de 360°/n.
Alguns eixemples, sense considerar el seu simetria especular adicional:
- n = 2, 180°: la díada (dos rogles encadenats); entre els quadrilàters, els paralelogramos, que tenen esta propietat com una característica d'identificació completa (necessària i suficient); les lletres Z, N, S; els contorns, encara que no els colors, del símbol yin i yang; la bandera britànica (es traça la diagonal de la bandera i es gira sobre el seu punt central).
- n = 3, 120 °: tríade (tres rogles enllaçats en els seus centres disposts sobre un triàngul equilátero); el trisquel de l'Illa de Man; el nuc borromeo. A voltes s'usa el terme "simetria trilateral".
- n = 4, 90 °: tétrada; esvástica.
- n = 6, 60 °: héxada; estrela de David.
- n = 8, 45 °: octada; octògons mocárabes.
Cn és el grup de rotació d'un polígon regular de n costats en 2D; o d'una piràmide o un prisma ortogonals les bases dels quals siguen polígons regulars de n costats en 3D.
Si un objecte presenta simetria rotacional, per eixemple, sobre un àngul de 100°, també la tindrà sobre un de 20°, el màxim comú divisor de 100° i 360°.
Un objecte 3D típic en simetria rotacional (possible també sobre eixos perpendiculars) pero sense simetria especular és una hèliç enrollada sobre un cilindre.[7]
Eixemples
[editar | editar còdic]| C2 (més) | C3 (més) | C4 (més) | C5 (més) | C6 (més) |
|---|---|---|---|---|
| Archiu:Double pendulum flips graph.png Fractal de doble péndola |
Archiu:Finland road sign 166 (1995–2020).svg Senyals de tràfic. Rotonda |
Archiu:HinduSwastika.svg Forma decorativa hindú |
Archiu:United States Bicentennial star 1976 (geometry).svg Estrela del Bicentenario dels Estats Units |
Archiu:Ice cristal - heraldic figure.svg Cope de neu |
| Archiu:En-300px-Shogi.png Posició de partida en el shōgi |
Archiu:Snoldelev-three-interlaced-horns.svg Pedra de Snoldelev; disseny en tres banyes de beguda maclados |
Archiu:Op-art-4-sided-spiral-tunnel-7.svg Disseny de Op-Art |
Archiu:15crossings-decorative-knot.svg Motiu decoratiu cèltic |
Archiu:Olavsrose.svg Logo del Norwegian Heritage |
.svg){kind=link}
.svg){kind=link}
Múltiples eixos de simetria a través del mateix punt
[editar | editar còdic]Per a una simetria discreta en múltiples eixos de simetria a través del mateix punt, existixen les següents possibilitats:
- Ademés d'un eix de simetria rotacional d'orde n; atres n eixos perpendiculars d'orde 2: el grup diedral Dn d'orde 2n(n ≥ 2). Est és el grup de rotacions d'un prisma regular, o d'una bipirámide regular. Encara que s'usa la mateixa notació, deu distinguir-se el Dn geomètric i l'abstracte: hi ha atres grups de simetria del mateix tipo de grup abstracte que són geomètricament diferents (vore grup diedral en 3D).
- Eixos d'órdens 4×3 i 3×2: el grup de rotacions T d'orde 12 d'un tetraedre regular. El grup és un isomorfisme sobre el grup alternante A4.
- Eixos d'órdens 3×4, 4×3 i 6×2: el grup de rotació O d'orde 24 d'un gaveta i d'un octaedre regular. El grup és isomorfo en el grup simètric S4.
- Eixos d'órdens 6×5, 10×3 i 15×2: el grup de rotació I d'orde 60 d'un dodecaedre i d'un icosaedre. El grup és isomorfo al grup alternante A5. El grup conté 10 versions de D3 i 6 versions de D5 (simetria rotacionales com a prismes i antiprismas).
En el cas dels sòlits platònics, els eixos d'orde 2 se situen a través dels punts mijos de les arestes opostes, i el número d'ells és la mitat del número d'arestes. Els atres eixos se situen a través de vèrtiços oposts i a través de centres de cares opostes, llevat en el cas del tetraedre, a on els eixos d'orde 3 s'ubiquen a través d'un vèrtiç i del centre de la cara oposta.[8]
Simetria rotacional sobre qualsevol àngul
[editar | editar còdic]La simetria rotacional sobre qualsevol àngul és, en dos dimensions, la simetria circular. El domini fonamental és una semirrecta.
En tres dimensions es pot distinguir la simetria cilíndrica i la simetria esfèrica (sense canvis en girar al voltant d'un eix, o per a qualsevol rotació). És dir, no depén de l'àngul usant coordenades cilíndriques i no depén de cap àngul usant coordenades esfèriques.[9] Els dominis fonamentals són un semiplano que passa a través de l'eix i una semirrecta radial respectivament. Axisimétrico és un adjectiu que referix a un objecte que té simetria cilíndrica, o axisimetría (és dir, simetria de rotació sobre un eix central) com una rosquilla (o toroide). Un eixemple de simetria esfèrica aproximada és la Terra (sobre la distribució de la seua densitat i d'atres propietats físiques i químiques).
En 4D, la simetria rotacional contínua o discreta al voltant d'un pla es correspon en la simetria rotacional 2D pròpia de cada pla perpendicular, al voltant del punt d'intersecció. Un objecte també pot tindre simetria rotacional al voltant de dos plans perpendiculars, com en el cas del producte cartesiano de dos figures 2D de simetria rotacional, entre els eixemples de la qual figuren el duocilindro i varis duoprismas regulars.
Simetria rotacional en simetria traslacional
[editar | editar còdic]| Archiu:Wallpaper group diagram p4.png Disposició en una cela unitat en rotacentros d'órdens 2 i 4. El domini fonamental figura en color groc. |
Archiu:Wallpaper group diagram p6.png Disposició en una cela unitat en rotacentros d'órdens 2, 3, i 6, solo o en combinació (considerant el símbol de la rotació d'orde 6 com una combinació de les d'orde 2 i 3); en el cas de la simetria de sol orde 2, la forma del paralelogramo pot ser diferent. Per al cas p6, un domini fonamental s'indica en groc. |
La simetria rotacional d'orde 2 junt en un simetria traslacional simple és un dels models de simetria coneguts com frisos. Posseïx dos rotocentros per cada cela unitat.
Junt en la doble simetria de translació, els grups de rotació són els següents elements del grup del paper pintat, en una série d'eixos per cada cela primitiva:
- p2 (2222): orde 4×2; grup de rotació de les retículas paralelográmicas, rectangulars i ròmbiques.
- p3 (333): orde 3×3; no és el grup de rotació de qualsevol celosía (cada celosía està invertida de la mateixa manera, pero això no s'aplica a esta simetria); és, per eixemple, el grup de rotació del teselado regular triangular en els triànguls equiláteros alternadamente coloreados.
- p4 (442): orde 2×4, orde 2×2; grup de rotació d'un enreixat quadrat.
- p6 (632): orde 1×6, orde 2×3, orde 3×2; grup de rotació d'un enreixat hexagonal.
| Pla euclideo | Pla hiperbòlic |
|---|---|
| Archiu:Tile caps block 28 6b.svg Teselado triangular hexakis, un eixemple de p6, [6,3]+, (632) (en colors) i p6m, [6,3], (*632) (sense colors); les llínees són eixos de reflexió si s'ignoren els colors, i una classe especial d'eixos de simetria si no s'ignoren els colors: la reflexió revertix els colors. Pot distinguir-se la reixeta rectangular en tres orientacions distintes. |
Archiu:Order-3 heptakis heptagonal tiling.png Kisrombil d'orde 3-7, un eixemple de simetria [7,3]+ (732) i [7,3], (*732) (sense colors) |
- Els rotacentros d'orde 2 (incloent possibles órdens 4 i 6), si estan presents, formen la translació d'un retícul igual al reticulado de translació, escalat per un factor 1/2. En el cas de la simetria traslacional en una dimensió, s'aplica una propietat similar, encara que el terme "celosía" no s'aplica.
- Rotocentros d'orde 3 (incloent el possible orde 6), si n'hi ha, formen un enreixat hexagonal regular igual a l'enreixat de translació, rotado 30° (o equivalent a 90°), i escalat per un factor
- Els rotacentros cuádruples, si estan presents, formen una retícula quadrada regular igual a la retícula traslacional, rotada 45° i escalada per un factor
- Els rotacenters d'orde 6, si estan presents, formen un enreixat hexagonal regular que és el translació de la ret de partida.
L'escala d'una retícula dividix el número de punts per unitat d'àrea pel quadrat del factor d'escala. Per lo tant, el número de rotacentros d'órdens 2, 3, 4 i 6 per cela unitària, és de 4, 3, 2 i 1, respectivament, incloent el d'orde 4 com un cas especial del d'orde 2 repetit dos voltes, etc.
La simetria rotacional triple en un punt i d'orde 2 en un atre (o d'igual forma en 3D sobre eixos paralels) implica el grup de rotació p6, és dir, la doble simetria traslacional i la simetria rotacional d'orde 6 en algun punt (o, en 3D, eixos paralels). La distància de translació de la simetria generada per un parell de rotacentros és multiplicada per la seua distància.[10]
Vore també
[editar | editar còdic]- Ambigrama
- Simetria axial
- Teorema de restricció cristalográfica
- Covariancia de Lorentz
- Grups de punts en tres dimensions
- Eix helicoidal
- Grup espacial
- Simetria traslacional
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ «Simetria rotacional» (en és). Mathematics Dictionary. Consultat el 25 de maig de 2018.
- ↑ Biologia, Ed. Mèdica Panamericana, 2007, p. 630 de 1532. ISBN 9788479039981.
- ↑ Morphomechanics of Development, Springer, 2014, pp. 12 de 195. ISBN 9783319139906.
- ↑ Problemes i qüestions de l'àlgebra llineal i càlcul infinitesimal II (exàmens), Editorial Club Universitari, 2010, pp. 501 de 568. ISBN 9788499481296.
- ↑ Groups and Symmetry, Springer Science & Business Mija, 1997, pp. 47 de 187. ISBN 9780387966755.
- ↑ Crystallography and Surface Structure: An Introduction for Surface Scientists and Nanoscientists, pp. 151 de 448. ISBN 9783527697120.
- ↑ Teoria geomètrica de les llínees alabeadas i de les superfícies desarrollables, imp. Fortanet, 1904, p. 146. ISBN 9781277246179.
- ↑ «Simetria en els poliedres regulars» (en és). GeoGebra. Consultat el 25 de maig de 2018.
- ↑ Group Theory for Physicists, World Scientific, 2007, p. 107 de 491. ISBN 9789812771414.
- ↑ La relació estructura-simetria-propietats en cristals i policristales, Reverte, 2008, pp. 14 de 177. ISBN 9789686708714.
Bibliografia
[editar | editar còdic]- Weyl, Hermann (1982). Symmetry, Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Simetría rotacional» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.