Tensor mètric (relativitat general)

Archiu:Metrictensor.svg

Tensor mètric (relativitat general)

El tensor mètric, en relativitat general, i en este context, a sovint abreviat simplement com a mètrica, és un invariante relativiste infinitesimal en la dimensió d'una llongitut. És objecte d'estudi fonamental. Matemàticament, és un tensor mètric relatiu a la varietat diferencial que representa l'espai-temps físic.La mètrica captura tota l'estructura geomètrica i causal de l'espai-temps, utilisant-se per a definir nocions com temps, distància, volum, curvatura, àngul i separació del futur i el passat.

En relativitat general, una mètrica, en un sistema de referència, conté tota l'informació sobre la gravitació tal com es percep en ell. El tensor mètric eixercita el paper del potencial gravitatorio en la teoria clàssica de la gravitació, encara que el contingut físic de les equacions associades és completament diferent. Per a Gutfreund i Renn: "en la relativitat general, el potencial gravitatorio està representat pel tensor mètric".

Notació i convencions

Este artícul treballa en una firma mètrica que és en la seua majoria positiva (− + + +). Vore convenció de signes. La constant de gravitació $G$ es mantindrà explícita. També s'ampra el conveni de suma d'Einstein, a on els índexs repetits se sumen automàticament.

Definició

Matemàticament, l'espai-temps està representat per una varietat diferenciable de quatre dimensions $M$ i el tensor mètric ve donat com un tensor covariant, de segon grau, simètric sobre $M$, convencionalment anotat per $g$. Ademés, es requerix que la mètrica siga no degenerada en la firma (− + + +). Una varietat $M$ dotada de tal mètrica és un tipo de varietat lorentziana.

Explícitament, el tensor mètric és una forma bilineal simètrica en cada espai tangente de $M$ que varia de manera suau (o diferenciable) d'un punt a un atre. Daus dos vectores tangentes $u$ i $v$ en un punt $x$ en $M$, la mètrica es pot evaluar en $u$ i $v$ per a donar un número real: $$g_x(u,v)=g_x(v,u)\in ℝ.$$

Es tracta d'una generalisació del producte escalar del espai euclídeo ordinari. A diferència de l'espai euclídeo, a on el producte escalar és definit positiu, la mètrica és indefinida i conferix a cada espai tangente l'estructura del espai de Minkowski.

Vore també

• Matemàtiques de la relativitat general
• Tensor de Ricci