Notació d'índexs abstracta

La notació d'índexs abstracta (també coneguda com a notació d'índexs de nomenat de recalats)^[1] és un tipo de notació matemàtica utilisada en els camps dels tensorés i dels espinorés, que utilisa índexs per a indicar els seus tipos, en lloc dels seus components en una base particular.^[2] Els índexs són mers marcadors de posició, no estan relacionats en cap base i, en particular, no són numèrics. Per tant, no deuen confondre's en els índexs utilisats en el càlcul de Ricci. La notació va ser introduïda per Roger Penrose com una forma d'utilisar els aspectes formals del conveni de suma d'Einstein per a compensar la dificultat de descriure contracció d'índexs i la diferenciació covariant en la notació tensorial abstracta moderna, preservant al mateix temps la covarianza explícita de les expressions involucrades.^[3]

Definició

Siga $V$ un espai vectorial i $V^{*}$ el seu espai dual. Considere's, per eixemple, un tensor covariant d'orde 2 $h \in V^{*} \otimes V^{*}$ . Llavors, $h$ es pot identificar en una forma bilineal en $V$ . En atres paraules, és una funció de dos arguments en $V$ que es poden representar com un parell de recalats:

h = h (-, -) .

La notació d'índex abstracta és simplement un etiquetage dels recalats en lletres llatines, que no tenen cap significat a banda de la seua designació com a etiquetes dels recalats (és dir, no són numèriques):

h = h_{a b} .

Una contracció tensorial (o traça) entre dos tensors es representa per mig de la repetició d'una etiqueta d'índex, a on una etiqueta és contravariante (un "superíndex" corresponent al factor $V$ ) i una etiqueta és covariant (un "subíndex" corresponent al factor $V^{*}$ ). Aixina, per eixemple,

t_{a b}^{b}

és la traça d'un tensor $t = t_{a b}^{c}$ sobre els seus dos últims recalats. Esta forma de representar les contracció tensoriales per mig d'índexs repetits és formalment similar al conveni de suma d'Einstein. No obstant, com els índexs no són numèrics, no impliquen una suma. Més be corresponen a l'operació de seguiment abstracta independent de la base (o emparejamiento natural) entre factors tensoriales de tipo $V$ i els de tipo $V^{*}$ .

Índexs abstractes i espais tensoriales

Un tensor homogéneu general és un element d'un producte tensorial de còpies de $V$ i de $V^{*}$ , com

V \otimes V^{*} \otimes V^{*} \otimes V \otimes V^{*} .

Ara, s'etiqueta cada factor en este producte tensorial en una lletra llatina en una posició elevada (superíndex) per a cada factor $V$ contravariante i en una posició baixa (subíndex) per a cada posició $V^{*}$ covariant. D'esta manera, s'escriu el producte com

V^{a} V_{b} V_{c} V^{d} V_{e}

o simplement

V^{a}_{b c}^{d}_{e} .

Les dos últimes expressions denoten el mateix objecte que la primera. Els tensors d'este tipo es denoten per mig d'una notació similar, com per eixemple:

h^{a}_{b c}^{d}_{e} \in V^{a}_{b c}^{d}_{e} = V \otimes V^{*} \otimes V^{*} \otimes V \otimes V^{*} .

Vore també

Referències

↑ Kip S. Thorne and Roger D. Blandford (2017). Modern Classical Physics: Optics, Fluids, Plasmes, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics, Princeton University Press. ISBN 978-0-69115902-7.
↑ Roger Penrose (2007). The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, Vintage. ISBN 978-0-67977631-4.
↑ Roger Penrose and Wolfgang Rindler (1984). Spinors and Space-Clave, Volume 1: Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields, Cambridge University Press. ISBN 978-0-52133707-6.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Notación de índices abstracta» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Thorne2017-1] Kip S. Thorne and Roger D. Blandford (2017). Modern Classical Physics: Optics, Fluids, Plasmes, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics, Princeton University Press. ISBN 978-0-69115902-7.

[Penrose2007-2] Roger Penrose (2007). The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, Vintage. ISBN 978-0-67977631-4.

[Penrose1984-3] Roger Penrose and Wolfgang Rindler (1984). Spinors and Space-Clave, Volume 1: Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields, Cambridge University Press. ISBN 978-0-52133707-6.

[1]

[2]

[3]