Tensor de Killing-Yano

En geometria de Riemann, un tensor de Killing-Yano és una generalisació del concepte de vector de Killing a un tensor de dimensió superior. El concepte va ser introduït en 1952 per Kentaro Yano. Es diu que un tensor antisimètric d'orde p $f_{a_1{a}_2\mathrm{...}{a}_p}$ és de Killing-Yano quan satisfà l'equació

$D_b{f}_{c{a}_2\mathrm{...}{a}_p}+D_c{f}_{b{a}_2\mathrm{...}{a}_p}=0$.

Esta equació es diferencia de la generalisació habitual del concepte de vector de Killing a tensors d'orde superior, cridats tensors de Killing, en que la derivada covariant D està simetrizada en un únic índex del tensor i no en tots, com és el cas dels tensors de Killing.

Tensors de Killing-Yano trivials

Tot vector de Killing és un tensor de Killing d'orde 1 i també és un tensor de Killing-Yano.

El tensor completament antisimètric (conegut com a tensor de Levi-Civita) ${ϵ}_{a_1{a}_2\mathrm{...}{a}_n}$ (a on n és la dimensió de la varietat) és un tensor de Killing-Yano, sent la seua derivada covariant sempre zero (vore nulitat de la derivada covariant del tensor dualizador).

Construcció de tensors de Killing a partir de tensors de Killing-Yano

Hi ha vàries formes de construir tensors de Killing (simètrics) a partir de tensors de Killing-Yano.

En primer lloc, es poden obtindre dos tensors de Killing trivials a partir dels tensors de Killing-Yano:

• A partir d'un tensor de Killing-Yano d'orde 1 ${\xi }_a$, es pot construir un tensor de Killing $K_{ab}$ d'orde 2 segons

$K_{ab}={\xi }_a{\xi }_b$.

• A partir del tensor completament antisimètric ${ϵ}_{a_1{a}_2\mathrm{...}{a}_n}$, es pot construir el tensor de Killing trivial

$K_{ab}={ϵ}_{b{a}_2\mathrm{...}{a}_n}{ϵ}^{a_2\mathrm{...}{a}_{n}c}{g}_{ca}=-6g_{ab}$.

Més interessant encara, a partir de dos tensors de Killing-Yano d'orde 2 $A_{ab}$ i $B_{ab}$, es pot construir el tensor de Killing d'orde 2 $K_{ab}$ segons

$K_{ab}=g^{cd}(A_{ac}{B}_{db}+B_{ac}{A}_{db})$.

A partir d'un tensor de Killing-Yano d'orde n-1, $A_{a_2\mathrm{...}{a}_n}$, es pot construir el vector associat en el sentit de Hodge (vore dual de Hodge),

$A^a={ϵ}^{a{a}_2\mathrm{...}{a}_n}{A}_{a_2\mathrm{...}{a}_n}$.

Degut a que el tensor $A_{a_2\mathrm{...}{a}_n}$ és de Killing-Yano, el vector A no és de Killing-Yano, pero obedix a l'equació

$D_a{A}_b=\frac{1}{n}{g}_{ab}{D}_c{A}^c$.

Esta propietat permet construir un tensor de Killing $K_{ab}$ a partir de dos d'estos vectores, definit per:

$K_{ab}=A_a{B}_b+A_b{B}_a-2A^c{B}_c{g}_{ab}$.

Qualsevol combinació llineal de tensors de Killing-Yano també és un tensor de Killing-Yano.