Operador tensorial

En matemàtica pura i aplicada, mecànica quàntica i computació gràfica, un operador tensorial generalisa les nocions d'operadorés escalares i vectorials. Una classe especial són els operadors tensoriales esfèrics, que apliquen les nocions de base esfèrica i d'harmònics esfèrics. Les bases esfèriques es relacionen estretament en la descripció de moment angular en mecànica quàntica i de les funcions harmòniques esfèriques. La generalisació lliure de coordenades d'un operador tensorial es coneix com a operador de representació. Plantilla:TOC limit

Noció general d'operadors escalares, vectorials i tensoriales

En mecànica quàntica, els observables físics que són escalares, vectores i tensors deuen representar-se per mig d'operadors escalares, vectorials i tensoriales, respectivament. Que alguna cosa siga un escalar, un vector o un tensor depén de cóm ho veuen dos observadors els sistemes dels quals de referència de coordenades estan relacionats entre sí per mig d'una rotació. Alternativament, pot preguntar-se cóm, per a un sol observador, es transforma una cantitat física si es trencada l'estat del sistema. Considere's, per eixemple, un sistema format per una molècula de massa $M$, que viaja en un centre d'impuls de massa definit, $p\widehat{𝐳}$, en la direcció $z$. Si es gira el sistema $90^{\circ }$ al voltant de l'eix $y$, l'impuls canviarà a $p\widehat{𝐱}$, que està en la direcció $x$. No obstant, l'energia cinètica del centre de massa de la moléculase mantindrà en $p^2/2M$. L'energia cinètica és un escalar i el moment és un vector, i estes dos cantitats deuen representar-se per mig d'un operador escalar i vectorial, respectivament. Per açò últim en particular, es fa referència a un operador els valors esperats del qual en els estats inicial i rotado són $p\widehat{𝐳}$ i $p\widehat{𝐱}$. L'energia cinètica, per un atre costat, deu representar-se per mig d'un operador escalar, el valor esperat del qual deu ser el mateix en l'estat inicial i en l'estat rotado.

De la mateixa manera, les cantitats tensoriales deuen representar-se per mig d'operadors tensoriales. Un eixemple de cantitat tensorial (de ranc dos) és el moment cuadripolar elèctric de la molècula anterior. Aixina mateix, els moments octupolar i hexadecápolar serien tensors de ranc tres i quatre, respectivament.

Atres eixemples d'operadors escalares són l'operador d'energia total (més comunament cridat hamiltoniano), l'energia potencial i l'energia d'interacció dipol-dipol de dos àtoms. Eixemples d'operadors vectorials són el moment, la posició, el moment angular orbital, $𝐋$, i el moment angular d'espin, $𝐒$ (observació: el moment angular és un vector pel que fa a les rotacions, pero a diferència de la posició o l'impuls, no canvia de signe baix l'inversió espacial, i quan es desija manejar esta propietat, es diu que és un seudovector).

Els operadors escalares, vectorials i tensoriales també poden formar-se per mig de productes d'operadors. Per eixemple, el producte escalar $𝐋\cdot 𝐒$ dels dos operadors vectorials, $𝐋$ i $𝐒$, és un operador escalar que ocupa un lloc destacat en les discussions sobre l'interacció espin-òrbita. De manera similar, el tensor de moment cuadripolar de la molècula de l'eixemple anterior té nou components

$Q_{ij}=\sum _{\alpha }{q}_{\alpha }(3r_{\alpha ,i}{r}_{\alpha ,j}-r_{\alpha }^2{\delta }_{ij}).$

Ací, els índexs $i$ i $j$ poden prendre independentment els valors 1, 2 i 3 (o $x$, $y$ i $z$) corresponents als tres eixos cartesianos, l'índex $\alpha$ recorre totes les partícules (electrons i núcleus) en el molècula, $q_{\alpha }$ és la càrrega de la partícula $\alpha$ i $r_{\alpha ,i}$ és el $i$-ésimo component de la posició d'esta partícula. Cada terme de la suma és un operador tensorial. En particular, els nou productes $r_{\alpha ,i}{r}_{\alpha ,j}$ junts formen un tensor de ranc dos, format prenent el producte exterior de l'operador vectorial ${𝐫}_{\alpha }$ en si mateixa.

Rotacions d'estats quàntics

Operador de rotació quàntica

El rotacional sobre el vector unitari n (que definix l'eix de rotació) a través de l'àngul θ és

$U[R(\theta ,\widehat{𝐧})]=\exp (-\frac{i\theta }{\hslash }\widehat{𝐧}\cdot 𝐉)$

a on J= (J_x, J_i, J_z) són els generadors de rotació (també les matrius de moment angular):

$J_x=\frac{\hslash }{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)J_y=\frac{\hslash }{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}0& i& 0\\ -i& 0& i\\ 0& -i& 0\end{array}\right)J_z=\hslash \left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

i siga $\hat{R}=\hat{R}(\theta ,\widehat{𝐧})$ una matriu de rotació. Segons la fòrmula de rotació de Rodrigues, l'operador de rotació equival llavors a

$U[R(\theta ,\widehat{𝐧})]=11-\frac{i\sin \theta }{\hslash }\widehat{𝐧}\cdot 𝐉-\frac{1-\cos \theta }{{\hslash }^2}(\widehat{𝐧}\cdot 𝐉{)}^2.$

Un operador $\hat{\Omega }$ és invariante baix una transformació unitària O si

$\hat{\Omega }=U^{†}\hat{\Omega }U;$

en este cas per a la rotació $\hat{U}(R)$,

$\hat{\Omega }={U(R)}^{†}\hat{\Omega }U(R)=\exp (\frac{i\theta }{\hslash }\widehat{𝐧}\cdot 𝐉)\hat{\Omega }\exp (-\frac{i\theta }{\hslash }\widehat{𝐧}\cdot 𝐉).$

Propietats de l'impuls angular

La base ortonormal establida per al moment angular total és $|j,m⟩$, a on j és el número quàntic del moment angular total i m és el número quàntic del moment angular magnètic, que pren valores −j, −' 'j + 1, ..., j − 1, j. Un estat general dins del subespacio j

$|\psi ⟩=\sum _m{c}_{jm}|j,m⟩$

trencada a un nou estat segons:

$|\overline{\psi }⟩=U(R)|\psi ⟩=\sum _m{c}_{jm}U(R)|j,m⟩$

Usant la condició de completitud:

$I=\sum _{m^{\prime }}|j,m^{\prime }⟩⟨j,m^{\prime }|$

s'obté

$|\overline{\psi }⟩=IU(R)|\psi ⟩=\sum _{m{m}^{\prime }}{c}_{jm}|j,m^{\prime }⟩⟨j,m^{\prime }|U(R)|j,m⟩$

Presentant els elements de la matriu D de Wigner:

${D(R)}_{m^{\prime }m}^{(j)}=⟨j,m^{\prime }|U(R)|j,m⟩$

dona la multiplicació de matrius:

$|\overline{\psi }⟩=\sum _{m{m}^{\prime }}{c}_{jm}{D}_{m^{\prime }m}^{(j)}|j,m^{\prime }⟩\Rightarrow |\overline{\psi }⟩=D^{(j)}|\psi ⟩$

Per a una base:

$|\overline{j,m}⟩=\sum _{m^{\prime }}{D(R)}_{m^{\prime }m}^{(j)}|j,m^{\prime }⟩$

Per al cas del moment angular orbital, els estats propis $|\ell ,m⟩$ del moment angular orbital L i les solucions de l'equació de Laplace en una esfera 3d són harmònics esfèrics:

$Y_{\ell }^m(\theta ,\varphi )=⟨\theta ,\varphi |\ell ,m⟩=\sqrt{\frac{(2\ell +1)}{4\pi }\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}{P}_{\ell }^m(\cos \theta )e^{im\varphi }$

a on P_ℓ^m és un polinomi associat de Legendre, ℓ és el número quàntic del moment angular orbital i m és el número quàntic magnètic orbital que pren els valors −ℓ, −ℓ + 1, ... ℓ − 1, ℓ El formalisme dels harmònics esfèrics té àmplies aplicacions en matemàtiques aplicades i està estretament relacionat en el formalisme dels tensors esfèrics, com es mostra a continuació.

Els harmònics esfèrics són funcions dels ànguls polar i assimutal, ϕ i θ respectivament, que es poden recopilar convenientment en un vector unitari n(θ, ϕ ) apuntant en la direcció d'eixos ànguls, en base cartesiana és:

$\widehat{𝐧}(\theta ,\varphi )=\cos \varphi \sin \theta {𝐞}_x+\sin \varphi \sin \theta {𝐞}_y+\cos \theta {𝐞}_z$

Per tant, un harmònic esfèric també es pot escriure $Y_{\ell }^m=⟨𝐧|\ell m⟩$. Els estats harmònics esfèrics $|m,\ell ⟩$ giren segons la matriu de rotació inversa $U(R^{-1})$, mentres que $|\ell ,m⟩$ gira segons la matriu de rotació inicial $\hat{U}(R)$.

$|\overline{\ell ,m}⟩=\sum _{m^{\prime }}{D}_{m^{\prime }m}^{(\ell )}[U(R^{-1})]|\ell ,m^{\prime }⟩,|\overline{\hat{𝐧}}⟩=U(R)|\widehat{𝐧}⟩$

Rotació d'operadors tensoriales

Es definix la rotació d'un operador requerint que el valor esperat de l'operador original $\widehat{𝐀}$ sobre l'estat inicial siga igual al valor esperat de l'operador rotado sobre l'estat rotado.

$⟨{\psi }^{\prime }|\widehat{A^{\prime }}|{\psi }^{\prime }⟩=⟨\psi |\hat{A}|\psi ⟩$

Ara, com

$|\psi ⟩\to |{\psi }^{\prime }⟩=U(R)|\psi ⟩,⟨\psi |\to ⟨{\psi }^{\prime }|=⟨\psi |U^{†}(R)$

es té que

$⟨\psi |U^{†}(R){\hat{A}}^{\prime }U(R)|\psi ⟩=⟨\psi |\hat{A}|\psi ⟩$

ya que $|\psi ⟩$ és arbitrari,

$U^{†}(R){\hat{A}}^{\prime }U(R)=\hat{A}$

Operadors escalares

Un operador escalar és invariante baix rotacions:

$U(R{)}^{†}\hat{S}U(R)=\hat{S}$

Açò equival a dir que un operador escalar commuta en els generadors de rotació:

$[\hat{S},\widehat{𝐉}]=0$

Eixemples d'operadors escalares inclouen

• l'operador d'energia:

$\hat{E}\psi =i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi$

• l'energia potencial V (solament en el cas d'un potencial central):

$\hat{V}(r,t)\psi (𝐫,t)=V(r,t)\psi (𝐫,t)$

• l'energia cinètica T:

$\hat{T}\psi (𝐫,t)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}({\mathrm{\nabla }}^2\psi )(𝐫,t)$

• l'acoplament d'espin orbital:

$\widehat{𝐋}\cdot \widehat{𝐒}={\hat{L}}_x{\hat{S}}_x+{\hat{L}}_y{\hat{S}}_y+{\hat{L}}_z{\hat{S}}_z$

Operadors vectorials

Els operadors vectorials (aixina com els operadors seudovectoriales) són un conjunt de 3 operadors que es poden rotar segons:

${U(R)}^{†}{\hat{V}}_{i}U(R)=\sum _j{R}_{ij}{\hat{V}}_j$

Qualsevol cantitat vectorial observable d'un sistema mecànic quàntic deu ser invariante de l'elecció del sistema de referència. La transformació del vector de valor esperat, que s'aplica a qualsevol funció d'ona, garantisa l'igualtat anterior. En notació de Dirac:

$⟨\overline{\psi }|{\hat{V}}_a|\overline{\psi }⟩=⟨\psi |{U(R)}^{†}{\hat{V}}_{a}U(R)|\psi ⟩=\sum _b{R}_{ab}⟨\psi |{\hat{V}}_b|\psi ⟩$

a on el costat dret de l'equació es deu a la transformació de rotació que actua sobre el vector format pels valors esperats. Ya que &#;Ψ&x27E9; és qualsevol estat quàntic, s'obté el mateix resultat:

${U(R)}^{†}{\hat{V}}_{a}U(R)=\sum _b{R}_{ab}{\hat{V}}_b$

Deu tindre's en conte que ací, el terme vector s'usa de dos maneres diferents: com &#;ψ&x27E9; són elements d'espais abstractes de Hilbert, mentres que l'operador vectorial es definix com una cantitat les components de la qual es transformen de certa manera baix rotacions.

De la relació anterior per a rotacions infinitesimals i d'acort en el lema de Baker Hausdorff, en igualar coeficients d'orde $\delta \theta$, es pot deduir la relació de conmutación en el generador de rotació:

$[{\hat{V}}_a,{\hat{J}}_b]=\sum _{c}i\hslash {\epsilon }_{abc}{\hat{V}}_c$

a on ε_ijk és el símbol de Levi-Civita, que tots els operadors vectorials deuen satisfer per construcció. La regla del commutador anterior també es pot usar com una definició alternativa per a operadors vectorials que es poden mostrar usant el lema de Baker-Hausdorff. Com el símbol ε_ijk és un seudotensor, els operadors de seudovectores tenen (llevat invariantes) un signe: +1 para rotacions pròpies i −1 para rotacions impròpies.

Ya que es pot demostrar que els operadors formen un operador vectorial per mig de la seua relació de conmutación en els components del moment angular (que són generadors de rotació), els seus eixemples inclouen:

• l'operador de posició:

$\widehat{𝐫}\psi =𝐫\psi$

• l'operador de moment:

$\widehat{𝐩}\psi =-i\hslash \mathrm{\nabla }\psi$

i els operadors seudovectoriales inclouen:

• l'operador del moment angular orbital:

$\widehat{𝐋}\psi =-i\hslash 𝐫\times \mathrm{\nabla }\psi$

• l'operador d'espin S, i per tant el moment angular total:

$\widehat{𝐉}=\widehat{𝐋}+\widehat{𝐒}$

Operadors escalares d'operadors vectorials

Si $\overrightarrow{V}$ i $\overrightarrow{W}$ són dos operadors vectorials, el producte escalar entre els dos operadors vectorials es pot definir com:

$\overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{W}=\sum _{i=1}^3\widehat{V_i}\widehat{W_i}$

Baixe la rotació de coordenades, l'operador recent definit es transforma com:

${U(R)}^{†}(\overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{W})U(R)={U(R)}^{†}\left(\sum _{i=1}^3\widehat{V_i}\widehat{W_i}\right)U(R)=\sum _{i=1}^3({U(R)}^{†}{\hat{V}}_{i}U(R))({U(R)}^{†}{\hat{W}}_{i}U(R))=\sum _{i=1}^3(\sum _{j=1}^3{R}_{ij}{\hat{V}}_j\cdot \sum _{k=1}^3{R}_{ik}{\hat{W}}_k)$

Reorganisant els térmens i usant la transposició de la matriu de rotació com la seua propietat inversa:

${U(R)}^{†}(\overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{W})U(R)=\sum _{k=1}^3\sum _{j=1}^3\left(\sum _{i=1}^3{R}_{ji}^T{R}_{ik}\right){\hat{V}}_j{\hat{W}}_k=\sum _{k=1}^3\sum _{j=1}^3{\delta }_{j,k}{\hat{V}}_j{\hat{W}}_k=\sum _{i=1}^3{\hat{V}}_i{\hat{W}}_i$

a on el costat dret de l'equació és l'operador $\overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{W}$ definit originalment. Ya que el producte escalar definit és invariante baix la transformació de rotació, es diu que és un operador escalar.

Operadors vectorials esfèrics

Un operador vectorial en una base esfèrica és V = (V₊₁, V₀, V₋₁), a on les components són:

$V_{+1}=-\frac{1}{\sqrt{2}}(V_x+i{V}_y)V_{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(V_x-i{V}_y),V_0=V_z,$

usant $J_{\pm }=J_x\pm i{J}_y,$ els diversos commutadors en els generadors de rotació i operadors d'escala són:

$\begin{array}{cc}[J_z,V_{+1}]& =+\hslash V_{+1}\\ [J_z,V_0]& =0V_0\\ [1ex][J_z,V_{-1}]& =-\hslash V_{-1}\\ [2ex][J_{+},V_{+1}]& =0\\ [J_{+},V_0]& =\sqrt{2}\hslash V_{+1}\\ [1ex][J_{+},V_{-1}]& =\sqrt{2}\hslash V_0\\ [2ex][J_{-},V_{+1}]& =\sqrt{2}\hslash V_0\\ [J_{-},V_0]& =\sqrt{2}\hslash V_{-1}\\ [1ex][J_{-},V_{-1}]& =0\\ [1ex]\end{array}$

que són de forma similar a:

$\begin{array}{cc}{J}_z|1,+1⟩& =+\hslash |1,+1⟩\\ J_z|1,0⟩& =0|1,0⟩\\ [1ex]J_z|1,-1⟩& =-\hslash |1,-1⟩\\ [2ex]J_{+}|1,+1⟩& =0\\ J_{+}|1,0⟩& =\sqrt{2}\hslash |1,+1⟩\\ [1ex]J_{+}|1,-1⟩& =\sqrt{2}\hslash |1,0⟩\\ [2ex]J_{-}|1,+1⟩& =\sqrt{2}\hslash |1,0⟩\\ J_{-}|1,0⟩& =\sqrt{2}\hslash |1,-1⟩\\ [1ex]J_{-}|1,-1⟩& =0\\ [1ex]\end{array}$

En una base esfèrica, els generadors de rotació són:

$J_{\pm 1}=\mp \frac{1}{\sqrt{2}}{J}_{\pm },J_0=J_z$

De la transformació d'operadors i del lema de Baker-Hausdorff:

${U(R)}^{†}{\hat{V}}_{q}U(R)={\hat{V}}_q+i\frac{\theta }{\hslash }[\hat{n}\cdot \overrightarrow{J},{\hat{V}}_q]+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(i\frac{\theta }{\hslash }[\hat{n}\cdot \overrightarrow{J},.])}^k}{k!}{\hat{V}}_q=exp\left(i\frac{\theta }{\hslash }\hat{n}\cdot A{d}_{\overrightarrow{J}}\right){\hat{V}}_q$

en comparació a

$U(R)|j,k⟩=|j,k⟩-i\frac{\theta }{\hslash }\hat{n}\cdot \overrightarrow{J}|j,k⟩+\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-i\frac{\theta }{\hslash }\hat{n}\cdot \overrightarrow{J})}^k}{k!}|j,k⟩=exp\left(-i\frac{\theta }{\hslash }\hat{n}\cdot \overrightarrow{J}\right)|j,k⟩$

Es pot argumentar que el commutador en operador reemplaça l'acció de l'operador sobre l'estat per a transformacions d'operadors en comparació a la d'estats:

$U(R)|j,k⟩=\exp \left(-i\frac{\theta }{\hslash }\hat{n}\cdot \overrightarrow{J}\right)|j,k⟩=\sum _{j^{\prime },k^{\prime }}|j^{\prime },k^{\prime }⟩⟨j^{\prime },k^{\prime }|\exp \left(-i\frac{\theta }{\hslash }\hat{n}\cdot \overrightarrow{J}\right)|j,k⟩=\sum _{k^{\prime }}{D}_{k^{\prime }k}^{(j)}(R)|j,k^{\prime }⟩$

La transformació de rotació en la base esfèrica (originalment escrita en una base cartesiana) és llavors, per la similitut de la conmutación i de l'operador mostrat dalt:

${U(R)}^{†}{\hat{V}}_{q}U(R)=\sum _{q^{\prime }}{D}_{q^{\prime }q}^{(1)}(R^{-1}){\hat{V}}_{q^{\prime }}$

Es pot generalisar fàcilment el concepte d'operador vectorial als operadors tensoriales, com es mostra a continuació.

Operadors tensoriales

En general, un operador tensorial és aquell que es transforma segons un tensor:

$U(R{)}^{†}{\hat{T}}_{pqr\cdots }^{abc\cdots }U(R)=R_{p,\alpha }{R}_{q,\beta }{R}_{r,\gamma }\cdots {\hat{T}}_{ijk\cdots }^{\alpha \beta \gamma \cdots }{R}_{i,a}^{-1}{R}_{j,b}^{-1}{R}_{k,c}^{-1}\cdots$

a on les bases es transformen per mig de $R^{-1}$ o les components del vector es transformen per mig de $R$.

En la discussió posterior sobre els operadors tensoriales, la notació d'índex relativa al comportament covariant/contravariante s'ignora per complet. En canvi, les components contravariantes estan implícites en el context. Per lo tant, per a un tensor n voltes contravariante:

$U(R{)}^{†}{\hat{T}}_{pqr\cdots }U(R)=R_{pi}{R}_{qj}{R}_{rk}\cdots {\hat{T}}_{ijk\cdots }$

Eixemples d'operadors tensoriales

• L'operador de moment cuadrupolar, :$Q_{ij}=\sum _{\alpha }{q}_{\alpha }(3r_{\alpha i}{r}_{\alpha j}-r_{\alpha }^2{\delta }_{ij})$
• Les components de dos operadors tensoriales vectorials es poden multiplicar per a obtindre un atre operador tensorial:

$T_{ij}=V_i{W}_j$

En general, un número n d'operadors tensoriales també donaran un atre operador tensorial:

$T_{pqr\cdots k}=V_p^{(1)}{V}_q^{(2)}{V}_r^{3)}\cdots V_k^{(n)}$

o,

$T_{i_1{i}_2\cdots j_1{j}_2\cdots }=V_{i_1{i}_2\cdots }{W}_{j_1{j}_2\cdots }$

Nota: En general, un operador tensorial no es pot escriure com el producte tensorial d'atres operadors tensoriales, com sí es fa en l'eixemple anterior.

Operador tensorial d'operadors vectorials

Si $\overrightarrow{V}$ i $\overrightarrow{W}$ són dos operadors vectorials tridimensionals, llavors es poden formar tensors diàdics cartesianos de ranc 2 a partir de nou operadors de la forma:

${\hat{T}}_{ij}=\widehat{V_i}\widehat{W_j}$,:${U(R)}^{†}{\hat{T}}_{ij}U(R)={U(R)}^{†}(\widehat{V_i}\widehat{W_j})U(R)=({U(R)}^{†}{\hat{V}}_{i}U(R))({U(R)}^{†}{\hat{W}}_{j}U(R))=(\sum _{l=1}^3{R}_{il}{\hat{V}}_l\cdot \sum _{k=1}^3{R}_{jk}{\hat{W}}_k)$

Reorganisant els térmens, s'obté:

${U(R)}^{†}{\hat{T}}_{ij}U(R)=\sum _{k=1}^3\sum _{l=1}^3\left(R_{il}{R}_{jk}{\hat{T}}_{lk}\right)$

El costat dret de l'equació inclou el canvi de base per a tensors dos voltes contravariantes, en els que la base es transforma per mig de $R^{-1}$ o els components del vector es transformen per mig de $R$, lo que coincidix en la transformació dels components de l'operador del vector. Per lo tant, l'operador tensor descrit forma un tensor de ranc 2, en representació tensorial:

$\widehat{𝐓}=\overrightarrow{V}\otimes \overrightarrow{W}=({\hat{V}}_i{\hat{W}}_j)({𝐞}_i\otimes {𝐞}_j)$

De manera similar, un operador tensorial n voltes contravariante es pot formar de manera similar per mig de n operadors vectorials.

S'observa que el subespacio comprés per combinacions llineals dels components tensoriales de ranc dos forma un subespacio invariante, és dir, el subespacio no canvia baix la rotació, ya que els components transformats en sí són una combinació llineal dels components tensoriales. No obstant, este subespacio no és irreducible, és dir, es pot dividir encara més en subespacios invariantes baix rotació. De lo contrari, el subespacio es diu reducible. En atres paraules, existixen conjunts específics de diferents combinacions llineals dels components de modo que es transformen en una combinació llineal del mateix conjunt baix rotació. En l'eixemple anterior es va mostrar que les 9 components tensoriales independents es poden dividir en un conjunt d'1, 3 i 5 combinacions d'operadors, cada u dels quals forma subespacios invariantes irreducibles.

Operadors tensoriales irreducibles

El subespacio comprés per $\{{\hat{T}}_{ij}\}$ es pot dividir en dos subespacios: tres components antisimètriques independents $\{{\hat{A}}_{ij}\}$ i sis components simètriques independents $\{{\hat{S}}_{ij}\}$, definides com ${\hat{A}}_{ij}=\frac{1}{2}({\hat{T}}_{ij}-{\hat{T}}_{ji})$ i ${\hat{S}}_{ij}=\frac{1}{2}({\hat{T}}_{ij}+{\hat{T}}_{ji})$. Utilisant la fòrmula de transformació baix rotació $\{{\hat{T}}_{ij}\}$, es pot demostrar que tant $\{{\hat{A}}_{ij}\}$ com $\{{\hat{S}}_{ij}\}$ es transformen en una combinació llineal de membres dels seus propis conjunts. Encara que $\{{\hat{A}}_{ij}\}$ és irreducible, no es pot dir lo mateix de $\{{\hat{S}}_{ij}\}$.

El conjunt de sis components simètrics independents es pot dividir en cinc components simètriques independents sense traça i la traça invariante pot ser el seu propi subespacio. Per lo tant, els subespacios invariantes de $\{{\hat{T}}_{ij}\}$ estan formats respectivament per:

1. Una traça invariante del tensor, $\hat{t}=\sum _{k=1}^3{\hat{T}}_{kk}$
2. Tres components antisimètriques linealmente independents de: ${\hat{A}}_{ij}=\frac{1}{2}({\hat{T}}_{ij}-{\hat{T}}_{ji})$
3. Cinc components simètriques sense traça linealmente independents de ${\hat{S}}_{ij}=\frac{1}{2}({\hat{T}}_{ij}+{\hat{T}}_{ji})-\frac{1}{3}\hat{t}{\delta }_{ij}$

Si es complix que ${\hat{T}}_{ij}=\widehat{V_i}\widehat{W_j}$, els subespacios invariantes de $\{{\hat{T}}_{ij}\}$ formats estan representats per:

1. Un operador escalar invariante $\overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{W}$
2. Tres components linealmente independents de $\frac{1}{2}({\hat{V}}_i{\hat{W}}_j-{\hat{V}}_j{\hat{W}}_i)$
3. Cinc components linealmente independents de $\frac{1}{2}({\hat{V}}_i{\hat{W}}_j+{\hat{V}}_j{\hat{W}}_i)-\frac{1}{3}(\overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{W}){\delta }_{ij}$

Dels eixemples anteriors, les nou components $\{{\hat{T}}_{ij}\}$ es dividixen en subespacios formats per un, tres i cinc components. Estos números sumen el número de components del tensor original d'una manera similar a la dimensió dels subespacios vectorials sumats a la dimensió de l'espai que és una suma directa d'estos subespacios. De manera similar, cada element de $\{{\hat{T}}_{ij}\}$ es pot expressar en térmens d'una combinació llineal de components de les seues subespacios invariantes:

${\hat{T}}_{ij}=\frac{1}{3}\hat{t}{\delta }_{ij}+{\hat{A}}_{ij}+{\hat{S}}_{ij}$

o

${\hat{T}}_{ij}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{W}){\delta }_{ij}+(\frac{1}{2}({\hat{V}}_i{\hat{W}}_j-{\hat{V}}_j{\hat{W}}_i))+(\frac{1}{2}({\hat{V}}_i{\hat{W}}_j+{\hat{V}}_j{\hat{W}}_i)-\frac{1}{3}(\overrightarrow{V}\cdot \overrightarrow{W}){\delta }_{ij})={𝐓}^{(0)}+{𝐓}^{(1)}+{𝐓}^{(2)}$

a on:

${\hat{T}}_{ij}^{(0)}=\frac{{\hat{V}}_k{\hat{W}}_k}{3}{\delta }_{ij}$:${\hat{T}}_{ij}^{(1)}=\frac{1}{2}[{\hat{V}}_i{\hat{W}}_j-{\hat{V}}_j{\hat{W}}_i]={\hat{V}}_{[i}{\hat{W}}_{j]}$:${\hat{T}}_{ij}^{(2)}=\frac{1}{2}({\hat{V}}_i{\hat{W}}_j+{\hat{V}}_j{\hat{W}}_i)-\frac{1}{3}{\hat{V}}_k{\hat{W}}_k{\delta }_{ij}={\hat{V}}_{(i}{\hat{W}}_{j)}-T_{ij}^{(0)}$

En general, els tensors cartesianos de ranc major que 1 són reducibles. En mecànica quàntica, este eixemple particular s'assembla a l'adició de dos partícules d'espin un, a on abdós són tridimensionals. Per lo tant, l'espai total és de nou dimensions i pot formar-se per mig de sistemes d'espin 0, espin 1 i espin 2, cada u dels quals té dimensió 1, dimensió 3 i dimensió 5 respectivament. Estos tres térmens són irreducibles, lo que significa que no poden descompondre's més i seguir sent tensors que satisfacen les lleis de transformació que els definixen baix les quals deuen ser invariantes. Cada una de les representacions irreducibles T⁽⁰⁾, T⁽¹⁾, T⁽²⁾ ... es transformen com a estats propis de moment angular segons el número de components independents.

És possible que en un tensor donat un o més d'estes components desapareguen. Per eixemple, el tensor de moment cuadrupolar ya és simètric i no té traces i, per lo tant, per a escomençar, solament té 5 components independents.

Operadors tensoriales esfèrics

Vore també: Teorema de Wigner-Eckart

Els operadors tensoriales esfèrics es definixen generalment com a operadors en la següent regla de transformació baix rotació del sistema de coordenades:

${\hat{T}}_m^{(j)}\to U(R{)}^{†}{\hat{T}}_m^{(j)}U(R)=\sum _{m^{\prime }}{D}_{m^{\prime }m}^{(j)}(R^{-1}){\hat{T}}_{m^{\prime }}^{(j)}$

Les relacions de conmutación es poden trobar expandint abdós costats de l'equació com:

$U(R{)}^{†}{\hat{T}}_m^{(j)}U(R)=(1+\frac{iϵ\hat{n}\cdot \overrightarrow{J}}{\hslash }+𝒪({ϵ}^2)){\hat{T}}_m^{(j)}(1-\frac{iϵ\hat{n}\cdot \overrightarrow{J}}{\hslash }+𝒪({ϵ}^2))=\sum _{m^{\prime }}⟨j,m^{\prime }|(1+\frac{iϵ\hat{n}\cdot \overrightarrow{J}}{\hslash }+𝒪({ϵ}^2))|j,m⟩{\hat{T}}_{m^{\prime }}^{(j)}$

Simplificant i aplicant llímits per a seleccionar sol térmens de primer orde, s'obté:

$[\hat{n}\cdot \overrightarrow{J},{\hat{T}}_m^{(j)}]=\sum _{m^{\prime }}{\hat{T}}_{m^{\prime }}^{(j)}⟨j,m^{\prime }|\overrightarrow{J}\cdot \hat{n}|j,m⟩$

En elegir $\hat{n}=\hat{x}\pm i\hat{y}$ o $\hat{n}=\hat{z}$, s'obté:

$\begin{array}{cc}[J_{\pm },{\hat{T}}_m^{(j)}]& =\hslash \sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}{\hat{T}}_{m\pm 1}^{(j)}\\ [J_z,{\hat{T}}_m^{(j)}]& =\hslash m{\hat{T}}_m^{(j)}\end{array}$. Tinga en conte la similitut de lo anterior en::$\begin{array}{cc}{J}_{\pm }|j,m⟩& =\hslash \sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}|j,m\pm 1⟩\\ J_z|j,m⟩& =\hslash m|j,m⟩\end{array}$.

Ya que $J_x$ i $J_y$ són combinacions llineals de $J_{\pm }$, compartixen la mateixa similitut per la linealidad.

Si solament es complixen les relacions de conmutación, utilisant la següent relació

$|j,m⟩\to U(R)|j,m⟩=exp(-i\frac{\theta }{\hslash }\hat{n}\cdot \overrightarrow{J})|j,m⟩=\sum _{m^{\prime }}{D}_{m^{\prime }m}^{(j)}(R)|j,m^{\prime }⟩$

es té que, per la similitut de les accions de $J$ en la funció d'ona $|j,m⟩$ i les relacions de conmutación en ${\hat{T}}_m^{(j)}$:

${\hat{T}}_m^{(j)}\to U(R{)}^{†}{\hat{T}}_m^{(j)}U(R)=exp\left(i\frac{\theta }{\hslash }\hat{n}\cdot a{d}_{\overrightarrow{J}}\right){\hat{T}}_m^{(j)}=\sum _{m^{\prime }}{D}_{m^{\prime }m}^{(j)}(R^{-1}){\hat{T}}_{m^{\prime }}^{(j)}$

a on la forma exponencial ve donada pel lema de Baker-Hausdorff. Per lo tant, les relacions de conmutación anteriors i la propietat de transformació són definicions equivalents d'operadors tensoriales esfèrics. També es pot demostrar que $\{a{d}_{{\hat{J}}_i}\}$ es transforma com un vector per la seua relació de conmutación.

En la següent secció, es discutirà la construcció de tensors esfèrics. Per eixemple, ya que es mostren eixemples d'operadors vectorials esfèrics, es poden utilisar per a construir operadors tensoriales esfèrics d'orde superior. En general, els operadors tensoriales esfèrics es poden construir des de dos perspectives. Una forma és especificar cóm es transformen els tensors esfèrics baix una rotació física: una definició pròpia de la teoria de grups. Un estat propi de moment angular rotado es pot descompondre en una combinació llineal dels estats propis inicials: els coeficients de la combinació llineal consistixen en entrades de la matriu de rotació de Wigner. O continuant en l'eixemple anterior del tensor diàdic de segon orde T = a ⊗ b, en convertir cada u de a i b en la base esfèrica i substituir-los en T s'obtenen els operadors tensoriales esfèrics de segon orde.

Construcció utilisant coeficients de Clebsch-Gordan

Es pot demostrar que la combinació de dos tensors esfèrics $A_{q_1}^{(k_1)}$ i $B_{q_2}^{(k_2)}$ de la següent manera involucra els coeficients Clebsch—Gordan dona un atre tensor esfèric de la forma:

:$T_q^{(k)}=\sum _{q_1,q_2}⟨k_1,k_2;q_1,q_2|k_1,k_2;k,q⟩A_{q_1}^{(k_1)}{B}_{q_2}^{(k_2)}$

Esta equació es pot utilisar per a construir operadors tensoriales esfèrics d'orde superior, per eixemple, operadors tensoriales esfèrics de segon orde utilisant dos operadors tensoriales esfèrics de primer orde, pose's A' i B, discutits anteriorment:

$\begin{array}{cc}{\hat{T}}_{\pm 2}^{(2)}& ={\hat{a}}_{\pm 1}{\hat{b}}_{\pm 1}\\ {\hat{T}}_{\pm 1}^{(2)}& =\frac{1}{\sqrt{2}}({\hat{a}}_{\pm 1}{\hat{b}}_0+{\hat{a}}_0{\hat{b}}_{\pm 1})\\ {\hat{T}}_0^{(2)}& =\frac{1}{\sqrt{6}}({\hat{a}}_{+1}{\hat{b}}_{-1}+{\hat{a}}_{-1}{\hat{b}}_{+1}+2{\hat{a}}_0{\hat{b}}_0)\end{array}$

Usant l'operador de rotació infinitesimal i el seu conjugat hermítico, es pot deduir la relació de conmutación en una base esfèrica:

$[J_a,{\hat{T}}_q^{(2)}]=\sum _{q^{\prime }}{D(J_a)}_{q{q}^{\prime }}^{(2)}{\hat{T}}_{q^{\prime }}^{(2)}=\sum _{q^{\prime }}⟨j=2,m=q|J_a|j=2,m=q^{\prime }⟩{\hat{T}}_{q^{\prime }}^{(2)}$

i es pot verificar la transformació de rotació finita en una base esfèrica:

${U(R)}^{†}{\hat{T}}_q^{(2)}U(R)=\sum _{q^{\prime }}{{D(R)}_{q{q}^{\prime }}^{(2)}}^{*}{\hat{T}}_{q^{\prime }}^{(2)}$

Usant harmònics esfèrics

Definixca's un operador pel seu espectre:

$\underset{l}{\overset{m}{{\rm Y}}}|r⟩=r^l{Y}_l^m(\theta ,\varphi )|r⟩=\underset{l}{\overset{m}{{\rm Y}}}(\overrightarrow{r})|r⟩$

Ya que per als harmònics esfèrics baix rotació:

$Y_{\ell =k}^{m=q}(𝐧)=⟨𝐧|k,q⟩\to U(R{)}^{†}{Y}_{\ell =k}^{m=q}(𝐧)U(R)=Y_{\ell =k}^{m=q}(R𝐧)=⟨𝐧|D(R{)}^{†}|k,q⟩=\sum _{q^{\prime }}{D}_{q^{\prime },q}^{(k)}(R^{-1})Y_{\ell =k}^{m=q^{\prime }}(𝐧)$

També es pot demostrar que:

$\underset{l}{\overset{m}{{\rm Y}}}(\overrightarrow{r})\to U(R{)}^{†}\underset{l}{\overset{m}{{\rm Y}}}(\overrightarrow{r})U(R)=\sum _{m^{\prime }}{D}_{m^{\prime },m}^{(l)}(R^{-1})\underset{l}{\overset{m^{\prime }}{{\rm Y}}}(\overrightarrow{r})$

Llavors $\underset{l}{\overset{m}{{\rm Y}}}(\overrightarrow{V})$, a on $\overrightarrow{V}$ és un operador vectorial, també es transforma de la mateixa manera, és dir, és un operador tensorial esfèric. El procés implica expressar

$\underset{l}{\overset{m}{{\rm Y}}}(\overrightarrow{r})=r^l{Y}_l^m(\theta ,\varphi )=\underset{l}{\overset{m}{{\rm Y}}}(x,y,z)$

en térmens de x, i i z; i reemplaçar x, i i z pels operadors V_x V_i i V_z que provenen de l'operador vectorial. L'operador resultant és, per tant, un operador tensorial esfèric ${\hat{T}}_m^{(l)}$ (deu tindre's en conte que els superíndexs i subíndexs canvien de lloc per a les etiquetes corresponents ℓ ↔ k i m ↔ q que usen els tensors esfèrics i els harmònics esfèrics). Açò pot incloure una constant per la normalisació d'harmònics esfèrics, lo que no té sentit en el context dels operadors.

l'operador adjunt d'un tensor esfèric es pot definir com

$(T^{†}{)}_q^{(k)}=(-1{)}^{k-q}(T_{-q}^{(k)}{)}^{†}.$

Existix certa arbitrarietat en l'elecció del factor de fase: qualsevol factor que continga (−1)^±q satisfarà les relacions de conmutación. L'elecció de fase anterior té la ventaja de ser real i de que el producte tensorial de dos operadors hermíticos conmutantes seguix sent hermítico. Alguns autors ho definixen en un signe diferent en q, sense el k, o utilisen solament el sol de k.

Moment angular i harmònics esfèrics

Moment angular orbital i harmònics esfèrics

Els operadors de moment angular orbital tenen els operadors d'escala:

$L_{\pm }=L_x\pm i{L}_y$

que aumenten o disminuïxen el número quàntic magnètic orbital m_ℓ en una unitat. Té casi exactament la mateixa forma que la base esfèrica, a banda dels factors multiplicativos constants.

Operadors tensoriales esfèrics i espin quàntic

Vore també: harmònics esfèrics ponderats per espin i harmònics esfèrics espinoriales

Els tensors esfèrics també es poden formar a partir de combinacions algebraiques dels operadors d'espin S_x, S_i, S_z, com a matrius, per a un sistema d'espin en número quàntic total j = ℓ + s (i ℓ = 0). Els operadors d'espin tenen els operadors d'escala:

$S_{\pm }=S_x\pm i{S}_y$

que aumenten o disminuïxen el número quàntic magnètic d'espin m_s en una unitat.

Aplicacions

Les bases esfèriques tenen àmplies aplicacions en matemàtiques pures i aplicades i en ciències físiques quan es manegen geometria esfèriques.

Transicions radiativas dipolares en un àtom d'un sol electró (álcali)

L'amplitut de transició és proporcional als elements de la matriu de l'operador dipolar entre els estats inicial i final. S'usa un model electrostàtic sense espin per a l'àtom i es considera la transició des del nivell d'energia inicial I_nℓ al nivell final I_n′ℓ′. Estos nivells són degenerados, ya que l'energia no depén del número quàntic magnètic m o m′. Les funcions d'ona tenen la forma

${\psi }_{n\ell m}(r,\theta ,\varphi )=R_{n\ell }(r)Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )$

L'operador dipol és proporcional a l'operador de posició de l'electró, per lo que es deuen evaluar elements matriciales de la forma

$⟨n^{\prime }{\ell }^{\prime }{m}^{\prime }|𝐫|n\ell m⟩$

a on l'estat inicial està a la dreta i el final a l'esquerra. L'operador de posició r' té tres components, i els nivells inicial i final consten de 2ℓ + 1 i 2ℓ′ + 1 estats degenerados, respectivament. Per lo tant, si es desija evaluar l'intensitat d'una llínea espectral tal com s'observaria, realment es té que evaluar 3(2ℓ′+ 1)(2ℓ+ 1) elements de la matriu, per eixemple, 3×3×5 = 45 en una transició 3d → 2p. En realitat, açò és una sobrevaloración, com es vorà, perque molts dels elements de la matriu desapareixen, pero encara queden molts uns atres que no desapareixen en realisar els càlculs.

Es pot conseguir una gran simplificació expressant les components de r, no sobre la base cartesiana, sino sobre la base esfèrica. Primer, es definix

$r_q={\widehat{𝐞}}_q\cdot 𝐫$

A continuació, en inspeccionar una taula de I_ℓm, es troba que per a ℓ = 1 es té que

$\begin{array}{cccccc}r{Y}_{11}(\theta ,\varphi )& =& & -r\sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin (\theta )e^{i\varphi }& =& \sqrt{\frac{3}{4\pi }}(-\frac{x+iy}{\sqrt{2}})\\ r{Y}_{10}(\theta ,\varphi )& =& & r\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos (\theta )& =& \sqrt{\frac{3}{4\pi }}z\\ r{Y}_{1-1}(\theta ,\varphi )& =& & r\sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin (\theta )e^{-i\varphi }& =& \sqrt{\frac{3}{4\pi }}\left(\frac{x-iy}{\sqrt{2}}\right)\end{array}$

a on s'ha multiplicat cada I_1m pel radi r. En el costat dret es veuen les components esfèriques r_q del vector de posició r. Els resultats es poden resumir per

$r{Y}_{1q}(\theta ,\varphi )=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}{r}_q$

per a q = 1, 0, −1, a on q apareix explícitament com un número quàntic magnètic. Esta equació revela una relació entre els operadors vectorials i el valor del moment angular ℓ = 1, alguna cosa sobre lo que es mostren més consideracions continuació. Ara els elements de la matriu es convertixen en un producte d'una integral radial per una integral angular

$⟨n^{\prime }{\ell }^{\prime }{m}^{\prime }|r_q|n\ell m⟩=(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{r}^{2}dr{R}_{n^{\prime }{\ell }^{\prime }}^{*}(r)r{R}_{n\ell }(r))(\sqrt{\frac{4\pi }{3}}\int \sin (\theta )d\Omega Y_{{\ell }^{\prime }{m}^{\prime }}^{*}(\theta ,\varphi )Y_{1q}(\theta ,\varphi )Y_{\ell m}(\theta ,\varphi ))$

Es comprova que tota la dependència dels tres números quàntics magnètics (m′, q, m) està continguda en la part angular de l'integral. Ademés, l'integral angular es pot evaluar per mig de la fòrmula dels tres I_ℓm, despuix de la qual cosa es torna proporcional al coeficient de Clebsch-Gordan

$⟨{\ell }^{\prime }{m}^{\prime }|\ell 1mq⟩$

L'integral radial és independent dels tres números quàntics magnètics (m′, q, m), i el truc que s'acaba d'utilisar no ajuda a evaluar-la. Pero és solament una integral i, una volta calculada, totes les demés integrals es poden evaluar simplement calculant o buscant els coeficients de Clebsch-Gordan.

La regla de selecció m′ = q + m en el coeficient de Clebsch-Gordan significa que moltes de les integrals desapareixen, per lo que s'ha sobreestimado el número total d'integrals que deuen realisar-se. Pero si s'haguera treballat en les components cartesianas r_i de r, esta regla de selecció podria no haver segut òbvia. En qualsevol cas, inclús en la regla de selecció, encara poden quedar moltes integrals distintes de zero per fer (nou, en el cas 3d → 2p). L'eixemple que s'acaba de donar sobre la simplificació del càlcul d'elements matriciales per a una transició dipolar és en realitat una aplicació de la teorema de Wigner-Eckart, que s'aborda més alvance en este artícul.

Resonància magnètica

El formalisme tensorial esfèric proporciona una plataforma comuna per a tractar la coherència i la relaixació en el camp de la resonància magnètica nuclear. En la resonància magnètica nuclear (RMN) i en la resonància paramagnética electrònica (RPE), els operadors tensoriales esfèrics s'ampren per a expressar la dinàmica quàntica del espin de les partícules, per mig d'una equació de moviment per a les entrades d'estat mixt, o per a formular la dinàmica en térmens d'una equació de moviment en l'espai de Liouville. L'equació de moviment de l'espai de Liouville governa els promijos observables de les variables d'espin. Quan la relaixació es formula utilisant una base tensorial esfèrica en l'espai de Liouville, s'obté informació perque la matriu de relaixació exhibix la relaixació creuada dels espin observables directament.