Lliure de coordenades

Un tractament d'un tema lliure de coordenades o lliure de components en una teoria científica o matemàtica que desenrolla els seus conceptes en qualsevol forma de varietat, pero sense referència a cap sistema de coordenades en particular.

Ventages

Els tractaments sense coordenades generalment permeten sistemes d'equacions més simples i restringixen inherentemente certs tipos de inconsistencias, lo que permet una major bellea matemàtica a costa d'una miqueta d'abstracció de les fòrmules detallades necessàries per a evaluar estes equacions dins d'un sistema de coordenades particular.

Ademés de l'elegància, els tractaments sense coordenades són crucials en determinades aplicacions per a demostrar que una definició determinada està ben formulada. Per eixemple, per a un espai vectorial $V$ en base $v_1,\mathrm{...},v_n$, pot resultar tentador construir un espai dual $V^{*}$ com l'interval formal dels símbols $v_1^{*},\mathrm{...},v_n^{*}$ en corchetes $⟨\sum {\alpha }_i{v}_i,\sum {\beta }_i{v}_i^{*}⟩:=\sum {\alpha }_i{\beta }_i$, pero no queda immediatament clar que esta construcció siga independent del sistema de coordenades inicialment elegit. En el seu lloc, és millor construir $V^{*}$ com l'espai de funcionals llineals en el corchete $⟨v,\phi ⟩=\phi (v)$ i després deduir les fòrmules basades en coordenades a partir d'esta construcció.

No obstant, a voltes pot resultar massa complicat procedir a partir d'un tractament sense coordenades, o un tractament sense coordenades pot garantisar l'unicitat pero no l'existència de l'objecte descrit, o pot ser que un tractament sense coordenades simplement no existixca. Com a eixemple de l'última situació, la aplicaión $v_i\mapsto v_i^{*}$ indica un isomorfisme general entre un espai vectorial de dimensió finita i el seu dual, pero este isomorfisme no està confirmat per cap definició lliure de coordenades. Com a eixemple de la segona situació, una forma comuna de construir un producte de fibres d'esquemes implica el pegat en pegats afins. Per a aliviar la falta d'elegància d'esta construcció, el producte de fibres és llavors caracterisat per mig d'una propietat universal convenient i s'ha demostrat que és independent dels pegats afins inicials elegits.

Història

Els tractaments sense coordenades eren l'únic enfocament disponible per a la geometria (i ara es coneixen com geometria sintètica) abans del desenroll de la geometria analítica per part de René Descartes. Despuix de varis sigles d'exposició generalment basada en coordenades, la tendència moderna és presentar als estudiants des del principi els tractaments sense coordenades i després deduir els tractaments basats en coordenades a partir del tractament sense coordenades, en lloc de fer-ho al revés.

Vore també

• Principi de covariancia
• Fonaments de la geometria
• Canvi de base
• Condicions de coordenades
• Tensor (definició intrínseca)
• Independència del fondo
• Topología sense punts