Topología sense punts

La topología sense punts és un enfocament de la topología que evita mencionar els punts. Un espai topològic tradicional consistix en un conjunt de "punts", junt en un conjunt de "conjunts oberts". Estos conjunts oberts formen un retícul en certes propietats. La topología sense punts estudia els propis retículs com a entitats abstractes, sense referència fer a un conjunt subjacent de punts. ya que alguns dels retículs aixina definits no provenen d'espais topològics, un pot vore la categoria d'espais topològics sense punts, també cridada de locals, com a extensió de la categoria dels espais topològics ordinaris. Alguns autors afirmen que esta nova categoria té certes propietats naturals que la fan preferible. Detalls en la relació entre la categoria d'espais topològics i la categoria de locals, incloent la construcció explícita de la dualitat entre els espais sobris i els locals espacials, poden ser trobats en l'artícul sobre la dualitat de Stone.

Formalment, definim un marc com un retícul L en el qual cada subconjunt (encara infinit) {a_i} té un suprem Va_i tal que (distribució completa)

b ∧ (V a_i) = V (a_i ∧ b)

para tot b i tot conjunt {a_i} de L. Estos marcs, junt en els homomorfismes de retículs que respecten suprems arbitraris, formen una categoria; la categoria oposta de la categoria de marcs es diu la categoria dels locals i generalisa la categoria d'espais topològics. La raó de que prengam la categoria oposta és que cada funció contínua f: X → I entre els espais topològics induïx una funció entre els retículs de conjunts oberts en la direcció oposta: cada conjunt obert O en I és mapeado al conjunt obert f^--1(O) en X.

És possible traslladar la majoria dels conceptes de la topología de punts en el context de locals, i provar les teoremes anàlogues. Mentres que moltes teoremes importants en topología de punts requerixen l'axioma d'elecció, açò no és veritat per als seus anàlecs en teoria de locals. Açò pot ser útil si un treballa en un talps que no complixca l'axioma d'elecció. El concepte de "producte de locals" divergix lleument del concepte de "producte d'espais topològics", i esta divergència s'ha considerat una desventaja de l'enfocament de locals. Uns atres afirmen que el producte de locals és més natural i apunten a vàries de les seues propietats "desijables" que no són compartides pels productes d'espais topològics.

Vore també àlgebra de Heyting. Un local és un àlgebra de Heyting completa.