Talps

En matemàtica, un talps (plural: toposes o topoi) és un tipo de categoria que es comporta com la categoria de conjunts i més generalment com una categoria de fas sobre un espai topològic. Tenen aplicacions en llògica, a on cada talps definix internament una fundamentación de les matemàtiques.

Introducció

Tradicionalment, la matemàtica es construïx usant teoria de conjunts, i tots els objectes estudiats en matemàtica són en última instància conjunts i funcions. Es diu que la teoria de les categories podria proporcionar uns millors fonaments per a la matemàtica. Analisant exactament quines propietats de la categoria de conjunts i de funcions són necessàries per a expressar la matemàtica, s'aplega a la definició de talps, i es pot llavors formular la matemàtica de qualsevol talps. Per supost, la categoria de conjunts forma talps, trivialment. En un talps més interessant, l'axioma d'elecció pugues no ser vàlit, o el principi de bivalencia (cada proposició és verdadera o falsa) pot fallar. És aixina d'un cert interés arreplegar aquelles teoremes que siguen vàlits en tot talps, no solament en el talps de conjunts. Un pugues també treballar en talps particulars per a concentrar-se solament en certs objectes. Per eixemple, els constructivista poden estar interessats en els talps de tots els conjunts i funcions "construíbles" en algun sentit. Si es considera important certa simetria baixe un grup G, es pot utilisar el talps que consistix en tots els G-espais. Un atre eixemple important de talps (i històricament el primer) és la categoria de tots els fas de conjunts sobre un Espai topològic donat. És també possible codificar una teoria llògica, tal com la teoria de tots els grups, en talps. Els models individuals de la teoria, és dir els grups en el nostre eixemple, corresponen llavors als funtorés del talps de codificació a la categoria de conjunts que respecten l'estructura de talps.

Història

Artícul principal → Fondo i génesis de la teoria dels talps.

L'orige històric de la teoria de talps és la Geometria algebraica. Alexander Grothendieck va generalisar el concepte de fes i d'espai topològic. El resultat és la categoria de fas sobre una topología de Grothendieck - també cridada talps de Grothendieck. F. W. Lawvere va decantar el contingut llògic d'esta estructura, i els seus axioma varen conduir a la noció actual. Observe que la noció de Lawvere, inicialment cridada talps elemental, és més general que la de Grothendieck, i és la que hui en dia es diu, simplement, "talps".

Referències

Introductòries.

• John Baez: Talps theory in a nutshell, http://math.ucr.edu/home/baez/topos.html.

Monografies.

• Robert Goldblatt: Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Studies in logic and the foundations of mathematics vol. 98.), North-Holland, New York, 1984.

• Saunders Mac Lane i Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic: a First Introduction to Talps Theory, Springer, New York, 1992. Més complet i més difícil de llegir.
• Michael Barr i Charles Wells: Toposes, Theories and Triples, Springer, 1985. Accessible en internet: http://www.cwru.edu/artsci/math/wells/pub/ttt.html. Més conciso que l'anterior: Sheaves in Geometry and Logic