Topología de Grothendieck

En teoria de categories, una branca de les matemàtiques, una topología de Grothendieck és una estructura definida en una categoria arbitrària C que permeta la definició de fas en C, i en eixa la definició de les teories generals de cohomología. Una categoria junt en una topología de Grothendieck en ella es diu un lloc. Esta ferramenta s'utilisa en teoria algebraica de números i geometria algebraica, per a definir principalment la cohomología étale d'esquemes, pero també per a la cohomologia plaja i el cohomología cristalina. Observe que una topología de Grothendieck no és una topología en el sentit clàssic.

Història i idea

En un moment en que la cohomología per als fas en espais topològics era establida, Alexander Grothendieck va voler definir les teories de cohomología per a atres estructures, les seues esquemes. Va pensar en un fes en un espai topològic com "metro patró" per a eixe espai, i la cohomología d'eixe patró com una mida grossera per a l'espai subjacent. La seua meta era aixina produir una estructura que permetria la definició de fas més generals; una volta que això fora fet, el model de les teories topològiques de cohomología es podria seguir casi textualment.

Eixemple de la motivació

Comence en un espai topològic X i considere el fes de totes les funcions real-valorades contínues definides en X. Açò associa a cada conjunt obert O en X el conjunt F(O) de funcions contínues real-valorades definides en O. Toda vez que O és un subconjunt de V, es té una "funció de restricció" de F(V) a F(O). Si interpretem l'espai topològic X com a categoria, en els conjunts oberts sent els objectes i un morfismo de O a V si i solament si O és un subconjunt de V, llavors F es revela com funtor contravariante d'esta categoria en la categoria de conjunts. En general, cada funtor contravariante d'una categoria C a la categoria de conjunts és, per lo tant, cridat un pre-fes de conjunts en C. El nostre funtor F té una propietat especial: si es té un cubrimiento obert (V_i) del conjunt O, i es donen elements mútuament compatibles de F (V_i), llavors existix exactament un element F(O) que es restringix a tots els daus. Esta és la propietat definitoria d'un fes, i una topología de Grothendieck en C és una tentativa de capturar l'essència de qué és necessari per a definir fas en C.