Fondo i génesis de la teoria dels talps

Esta pàgina presenta de modo ampli l'idea matemàtica dels talps. Esta és una branca de la teoria de categories, i té reputació de ser abstrusa. El nivell d'abstracció involucrat no es pot reduir més allà de cert punt; pero el context pot ser indicat. Açò es farà en part en térmens del desenroll històric, pero també fins a cert grau donant una explicació d'actituts, certament diferents, front a la teoria de categories.

Escola de Grothendieck

Durant l'última part dels anys 1950, els fonaments de la geometria algebraica estaven sent reescrits; i és ací a on els orígens del concepte dels talps deuen ser trobats. En aquella época, les conjectura de Weil eren una motivació excepcional per a l'investigació. Com ara sabem, la ruta cap a la seua prova, i atres alvanços, yacer en la construcció de la cohomología étale.

En la ventaja de lo retrospectiu, es pot dir que la geometria algebraica havia estat lluitant en dos problemes, durant molt temps. El primer tenia que vore en punts: en els vells dies de la geometria proyectiva era clar que l'absència de suficients punts en una varietat algebraica era una barrera per a obtindre una bona teoria geomètrica (en la qual hi haguera alguna cosa com una varietat compacta). Estava també la dificultat, que va ser evident tan pronte com la topología va prendre forma en la primera mitat del sigle vint, de que la topología de les varietats algebraiques tenia massa pocs conjunts oberts.

La qüestió dels punts estava prop de la seua resolució prop de 1950 quan Grothendieck va prendre un enfocament que (apelant al lema de Yoneda) va terminar en ell —naturalment en un cost—, que cada varietat o, més en general, esquema devia convertir-se en funtor. No obstant, no era possible agregar conjunts oberts. La manera d'alvançar era atra.

La definició dels talps primer va aparéixer alguna cosa oblicuament, en o al voltant de 1960. Els problemes generals del cridat 'descens' en geometria algebraica eren considerats, en el mateix periodo en que el grup fonamental va ser generalisat al context de la geometria algebraica (com grup profinito). A la llum de treball ulterior, 'descens' és part de la teoria de les comónadas; ací podem vore la manera en la qual l'escola de Grothendieck es bifurca en el seu acostament dels teòrics 'purs' de categoria, un tema que serà important per a la comprensió de cóm el concepte de talps va ser tractat més alvance.

Hi havia potser una ruta més directa disponible: el concepte de categoria abeliana havia segut introduït per Grothendieck en el seu treball fundacional en àlgebra homológica, per a unificar categories de fas de grups abelianos i de mòduls. Una categoria abeliana es deu ser tancada baix certes operacions categòric-teòriques; usant esta classe de definició, es pot enfocar enterament en l'estructura, sense dir res sobre la naturalea dels objectes involucrats. Este tipo de definició es pot potser retrotraer a concepte de reticulado. Era una pregunta acceptable, al voltant de 1957, sobre una caracterisació purament categòric-teorética similar, sobre categories de fas de conjunts.

Esta definició va ser donada finalment (angl.), al voltant de 1962, per Grothendieck i Verdier (vore el seminari Bourbaki: Anàlisis Situs de Verdier). La caracterisació estava feta per mig de categories 'en suficients colímites', i aplicada a lo que ara es diu un talps de Grothendieck. La teoria es va completar, establint que els talps de Grothendieck eren una categoria de fas, a on ara la paraula 'fes' havia adquirit un significat estés sobre l'idea topología de Grothendieck (També cridada un lloc).

De la teoria pura de categories a la llògica categorial

La definició actual dels talps es remonta a William Lawvere. Mentres que la sincronisació seguix de prop la descrita dalt, com a qüestió d'història, l'actitut és diferent, i la definició és més inclusiva. És dir, hi ha eixemples de talps que no són talps de Grothendieck. I, lo que és més, estos poden ser d'interés per a un número de disciplines llògiques.

La definició de Lawvere selecciona com a paper central en la teoria dels talps el classificador de subobjetos. En la categoria usual dels conjunts, est és el conjunt de dos elements de valors de veres booleanos, verdader i fals. És casi tautológico dir que els subconjunts d'un conjunt donat X són lo mateix que (tan bons com) les funcions de X a qualsevol conjunt de dos elements donat: fixe el primer element i faça que un subconjunt I corresponga a la funció que envia a I a ell i el seu complement en X a l'atre element.

Ara, classificadors de subobjetos poden ser trobats dins de la teoria de fas. Encara tautológicament, encara que certament més abstractament, per a un espai topològic X hi ha una descripció directa d'un fes en X que eixercita tal paper sobre tots els fas de conjunts en X. De fet, en térmens del espai associat en un fes que es descriu com l'unió de còpies disjuntas de cada u dels conjunts oberts O de X. Açò mapea cap a X per un obvi homeomorfisme local: com la pila de tots els subconjunts oberts de X proyectant-se en ell. El talle per a x en X té un punt per a cada O que conté a x; de modo que este talle sembla el grafo de la relació de pertinença.

Lawvere llavors va formular axioma per a un talps que assumiren un classificador de subobjetos, i algunes condicions sobre llímits (per a fer la categoria cartesiano-tancada, per lo manco). Per un temps, esta noció de talps va ser cridada talps elemental.

Una volta que l'idea d'una conexió en la llògica va ser formulada, va haver varis desenrolls que testearon la nova teoria:

• Models de la teoria de conjunts mostrant l'independència de la hipòtesis del continu
• Reconeiximent de la conexió en l'idea de la llògica intuicionista sobre el quantificador existencial .
• Combinant estos, la discussió de la teoria intuicionista dels número real, per models de fes.