Lema de Yoneda

El lema de Yoneda en teoria de les categories nos permet encaixar una categoria en una atra categoria de funtor és definida sobre aquella, i clarifica cóm la categoria encaixada es relaciona en els objectes de la categoria de funtores que l'encaixen.

És una ferramenta important que es troba subjacent a varis dels desenrolls moderns en geometria algebraica i teoria de la representació. És una extensa generalisació del teorema de Cayley de la teoria de grups (tot grup és un monoide, que és a la seua volta una categoria en un sol objecte).

Alguna cosa sobre la seua filosofia

Parlant en general, el lema de Yoneda sugerix que en lloc d'investigar la categoria (menuda) C, podem estudiar la categoria de tots els funtores des de C a la categoria Set (a on Set és la categoria de tots els conjunts en les aplicacions en el paper de morfismos). Set és la categoria que millor entenem, i un funtor de C a Set pot vore's com una "representació" de C en térmens d'estructures conegudes. La categoria original C està continguda en dita categoria de funtores, pero en esta apareixeran objectes nous que en cert modo estaven amagats en C. Tractant tals objectes nous com els vells en C a sovint unifiquem i simplifiquem la teoria.

Este modo de vore és semblat (i de fet ho generalisa) el método corrent d'estudiar un anell per mig de l'estudi dels mòduls sobre l'anell. L'anell faria el paper de la categoria C, i la categoria de funtores a on se li encaixa seria la categories de mòduls sobre l'anell encaixat.

Lema de Yoneda

Un objecte A d'una categoria C definix un funtor covariant de C en la categoria Set dels conjunts :

$X\to h_A(X)=Ho{m}_C(A,X)$

D'esta manera disponem d'un funtor contravariante de C en la categoria Func(C,Set) dels funtores contravariantes de C en Set. Tot morfismo de A a B en la categoria C induïx un morfismo de $h_B$ en $h_A$. El lema de Yoneda afirma que estos són els únics morfismos dels que disponem; ademés, per mig del lema es caracterisen els conjunts de morfismos de $h_A$ a qualsevol atre funtor de C a Set.

Enunciat

Per a tot objecte $A$ d'una categoria $𝒞$, tot morfismo $\psi$ de $h_A$ sobre un funtor $T:𝒞\to 𝖲𝖾𝗍$ està definit únicament per l'element de $T(A)$ que es definix com l'image de $I{d}_A$ en $h_A(A)$ per $\psi (A)$. Més precisament, disponem d'una biyección:

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(h_A,T)\to T(A)$ $\psi \to \psi (A)(I{d}_A)$

En particular, per a tots els objectes $A$ i $B$ de $𝒞$, tenim que $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(h_A,h_B)=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(B,A)$, a on h es denomina el encaix de Yoneda (en anglés, Yoneda embedding).

L'encaix de Yoneda a voltes és denotat per よ, el símbol en hiragana de la sílaba "yo".

Demostració

Inyectividad

En les notacions de dalt, considerem $\psi$ un morfismo de $h_A$ sobre $T$. Per a tot element $f$ en $h_A(B)=Ho{m}_C(A,B)$, tenim :

$f=h_A(f)(I{d}_A)$

Aplicant a esta identitat l'aplicació conjuntista $\psi (B):h_A(B)\to T(B)$, obtenim :

$\psi (B)(f)=\psi (B)[h_A(f)(I{d}_A)]=T(f)[\psi (A)(I{d}_A)]$

a on la segona igualtat ve de la definició d'un morfismo de funtores. L'element $\psi (B)(f)$ és per tant l'image de $\psi (A)(I{d}_A)$ per mig de $T(f)$. De fet, fent variar f, es demostra que $\psi$ està unívocamente determinadad per $\psi (A)(I{d}_A)$. L'aplicació donada és inyectiva.

Sobreyectividad

Siga un element v de $T(A)$. La prova de la inyectividad permet intuir un (forçosament únic) antecedent de v. Per a tot objecte B de C, definim :

${\psi }_v(B):h_A(B)\to T(B)$ $f\mapsto T(f)(v)$

Verifiquem que ${\psi }_v$ és un morfismo de funtores. Per a tota flecha $g:B\to C$ i per a tot element f de $h_A(B)$, podem escriure :

$T(g)[{\psi }_v(B)(f)]=T(g)[T(f)(v)]=T[g.f](v)={\psi }_v(C)(g.f)$

Ara be, la composició g.f pot ser vista com l'image def per $h_A(g)$. Per tant, l'identitat obtinguda es reescriu:

$T(g)[{\psi }_v(B)(f)]={\psi }_v(C)[h_A(g)(f)]$

Fent variar f :

$T(g)\circ {\psi }_v(B)={\psi }_v(C)\circ h_A(g)$

Sent açò verificat per a tota flecha g, ${\psi }_v$ és un funtor de $h_A$ sobre $T$ i la seua image és casi per definició v (s'ha definit per a això).