Operador adjunt

En matemàtiques, per a tot operador llineal sobre un espai de Hilbert pot definir-se el seu operador adjunt. Est és una generalisació del concepte de matriu adjunta al cas d'espais de dimensió infinita.

L'adjunt d'un operador A, també cridat Adjunt hermítico o Conjugat hermítico (en honor a Charles Hermite) de A es denota per A* o per A^†, este últim especialment usat quan s'utilisa junt a la notació Notació de Dirac o Bra-Ket, comuna en la Mecànica Quàntica.

Definició

Per a definir l'operador adjunt a un operador llineal dau, s'ha d'especificar el domini de dit operador i les seues imàgens:

Note's que ha de provar-se que, tal i com apareixen en la definició, D_A* és un subespacio, i que l'operador A* és llineal.

Eixemples.

Un operador llineal Ax = a·x, a on a ∈ C siga un número complejo, definit en un subespacio D ⊂ H, té per operador adjunt a operador A*x = a*·x, definit en tot l'espai de Hilbert H. Dins de les funcions de quadrat integrable L², pot definir-se l'operador moment que bàsicament pren derivadas:

$P:D_P\subset L^2\to L^2\text{ , }Pf=-i{f}^{\prime }$

dins del subespacio D_P ⊂ L² de funcions derivables que la seua derivada estiga a la seua volta en L². El producte escalar de Pf en una atra funció g és:

$⟨g,Pf⟩=\int g^{*}(Pf)=-i\int g^{*}{f}^{\prime }$

i pot aplicar-se llavors integració per parts sempre que g siga derivable:

$⟨g,Pf⟩=-i\int g^{*}{f}^{\prime }=i\int g{\text{'}}^{*}f=\int (-i{g}^{\prime }{)}^{*}f$

Per a que g estiga en el domini de l'operador adjunt P*, ademés de ser derivable, –ig' ha de pertànyer a L². Per lo tant, el subespacio D_P* és igual a D_P, i l'operador P* actua de la mateixa manera que P, per lo que són idèntics (és dir, l'operador P és autoadjunto).

Referències

• Akhiezer, N.I.; Glazman, {{{nom2}}} (1993). Theory of Linear Operators in Hilbert Space (en anglés), Dover Publications. ISBN 0-486-67748-6.