Cuadrupolo

Archiu:QuadrupoleContour.svg

Diagrama de contorn de la superfície equipotencial del camp d'un cuadrupolo elèctric

Un cuadrupolo és una de les distintes configuracions de múltiples objectes (concretament quatre) lligats a forces (com a càrregues o corrents elèctriques, o masses gravitatorias), que pot existir en forma ideal, pero que generalment és solament una part d'un desenroll multipolar d'una estructura més complicada que reflectix varis órdens de complexitat.

Definició matemàtica

El tensor del moment d'un cuadrupolo Q és un element tensorial de ranc dos -formalisat en una matriu de dimensió 3x3- i que la seua traça és nula:

$Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}=0$

El tensor del moment cuadrupolar té 9 components, pero per la simetria i la propietat de la seua traça nula, solament 5 d'estes components són independents.

Per a un sistema discret de càrregues puntuals o masses en el cas d'un cuadrupolo gravitacional, cada una en càrrega $q_l$, o massa $m_l$, i posició $\overrightarrow{r_l}=(r_{xl},r_{yl},r_{zl})$ sobre l'orige del sistema de coordenades, els components de la matriu Q es definixen per:

$Q_{ij}=\sum _l{q}_l(3r_{il}{r}_{jl}-\Vert \overrightarrow{r_l}{\Vert }^2{\delta }_{ij})$.

Els índexs $i,j$ que s'apliquen sobre les coordenades cartesianas $x,y,z$ i ${\delta }_{ij}$ són els elements de la funció delta de Kronecker. Açò significa que $x,y,z$ deu ser igual, fins a en el signe, a les distàncies des del punt a $n$ mútuament perpendiculars a un hiperplano de manera que la delta de Kronecker siga igual a 1.

Per a un sistema continu en densitat de càrrega, o densitat de massa, $\rho (x,y,z)$, els components de Q estan definits per l'integral sobre l'espai cartesiano r:

$Q_{ij}=\int \rho (𝐫)(3r_i{r}_j-\Vert \overrightarrow{r}{\Vert }^2{\delta }_{ij})d^3𝐫$

De la mateixa manera que en qualsevol moment multipolar, si un moment d'orde inferior, monopolar o dipolar en este cas, és distint de zero, llavors el valor del moment cuadrupolar depén de l'elecció del orige de coordenades. Per eixemple, un dipol elèctric de dos càrregues puntuals de signe opost i força igual, que no té moment monopolar, pot tindre un moment cuadrupolar distint de zero si l'orige s'allunta del centre de la configuració exactament entre les dos càrregues; o el moment cuadrupolar es pot reduir a zero en l'orige en el centre. Pel contrari, si els moments monopolares i dipolares desapareixen, pero el moment cuadrupolar no, com per eixemple en quatre càrregues de la mateixa força, dispostes en els vèrtiços d'un quadrat, en signes alterns, llavors el moment cuadrupolar és independent de les coordenades.

Si cada càrrega és la font d'un camp potencial de valor "$1/r$", com el camp elèctric o el camp gravitatorio, la contribució al potencial del camp per un moment cuadrupolar és:

$V_q(𝐑)=\frac{k}{|𝐑{|}^3}\sum _{i,j}\frac{1}{2}{Q}_{ij}{n}_i{n}_j,$

a on R és un vector en orige en el sistema de càrregues i n és el vector unitari en la direcció de R. Ací, $k$ és una constant que depén del tipo de camp i les unitats que s'utilisen. Els factors $n_i,n_j$ són les components del vector unitari des del punt considerat fins a l'ubicació del moment cuadrupolar.

Cuadrupolo elèctric

L'eixemple més simple d'un cuadrupolo elèctric consistix en alternar càrregues positives i negatives, dispostes en els cantons d'un quadrat. El moment monopolar (solament la càrrega total) d'esta disposició és zero. De manera similar, el moment dipolar químic és zero, independentment de l'orige de coordenades que s'haja elegit. Pero el moment cuadrupolar de la disposició reflectida en el diagrama no es pot reduir a zero, independentment d'on es coloque l'orige de les coordenades. El potencial d'un cuadrupolo de càrrega elèctrica ve dau per

$V_q(𝐑)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{1}{|𝐑{|}^3}\sum _{i,j}\frac{1}{2}{Q}_{ij}{n}_i{n}_j,$

a on ${ϵ}_0$ és la permitividad, i $Q_{ij}$ seguix la definició anterior.