Tensor cartesiano

Archiu:Rectangular coordinate systems index lowered.svg

Dos bases ortonormals en 3d diferents: cada base consta de vectores unitaris que són mútuament perpendiculars

En geometria i àlgebra llineal, un tensor cartesiano utilisa una base ortonormal para representar un tensor en un espai euclídeo en forma de components. La conversió de les components d'un tensor d'una base a una atra es realisa per mig d'una transformació ortogonal.

Els sistemes de coordenades més familiars són els sistemes cartesianos bidimensionales i tridimensionals. Els tensors cartesianos es poden usar en qualsevol espai euclidiano o, més tècnicament, en qualsevol espai vectorial de dimensió finita sobre el cos dels número real que tinga associat un espai prehilbertiano.

L'us de tensors cartesianos es dona en física i ingenieria, com ocorre en el tensor de tensió i el tensor de moment d'inèrcia en la dinàmica de cossos rígits. En ocasions és convenient l'us de coordenades curvilíneas generals, com en el cas de la mecànica de mijos continus d'alta deformació, o inclús necessari, com succeïx en la relativitat general. Si be es poden trobar bases ortonormals per a alguns d'estos sistemes de coordenades (com per eixemple, les tangentes a les coordenades esfèriques), els tensors cartesianos poden proporcionar una simplificació considerable per a aplicacions en les que són suficients les rotacions respecte a eixos de coordenades rectilíneos. La transformació és passiva, ya que es canvien les coordenades pero no el sistema físic.

Base cartesiana i terminologia relacionada

Vectores en tres dimensions

En l'espai euclídeo tridimensional $ℝ^{3}$ , es definix la base canònica $i x$ , $i i$ , $i z$ . Cada vector de la base apunta segons els eixos x, i i z, i tots els vectores són unitaris (o normalisats), per lo que la base és ortonormal.

En tot moment, quan es fa referència a coordenades cartesianas en tres dimensions, se supon un sistema orientat a la dreta i açò en la pràctica és molt més comuna que un sistema orientat a l'esquerra (consulte's l'artícul sobre orientació per a obtindre més detalls).

Per a tensors cartesianos d'orde 1, un vector cartesiano $a$ es pot escriure algebraicamente com una combinació llineal dels vectores base $i x$ , $i i$ , $i z$ :

𝐚 = a_{x} 𝐞_{x} + a_{y} 𝐞_{y} + a_{z} 𝐞_{z}

a on les coordenades del vector sobre la base cartesiana es denoten com $a x$ , $a i$ , $a z$ . És comú i útil denotar els vectores base com vectores columna.

𝐞_{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), 𝐞_{y} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), 𝐞_{z} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

quan es tenen les components d'un vector en una representació d'un vector columna:

𝐚 = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix})

Una representació com vectores fila també és possible, encara que en el context de sistemes de coordenades curvilíneos generals les representacions de vectores fila i columna s'usen per separat per raons específiques (consulte's conveni de suma d'Einstein i covarianza i contravarianza per a saber per qué).

El terme component d'un vector és ambigu, i pot referir-se a:

Una coordenada específica del vector com $a z$ (un escalar), i de manera similar per a $x$ i $i$ , o L'escalar de coordenades que multiplica el vector base corresponent, en el cas del qual la component $i$ de $a$ és $a i i i$ (un vector), i de manera similar per a $x$ i $z$ .

Una notació més general és la notació tensorial indexada, que té la flexibilitat d'amprar valors numèrics en lloc d'etiquetes de coordenades fixes. Les etiquetes cartesianas es reemplacen per índexs tensoriales en els vectores base $i x \mapsto i 1$ , $i i \mapsto i 2$ , $i z \mapsto i 3$ i les coordenades $a x \mapsto a 1$ , $a i \mapsto a 2$ , $a z \mapsto a 3$ . En general, la notació $i 1$ , $i 2$ , $i 3$ es referix a qualsevol base, i $a 1$ , $a 2$ , $a 3$ es referix al sistema de coordenades corresponent, encara que ací estan restringits al sistema cartesiano. Llavors:

𝐚 = a_{1} 𝐞_{1} + a_{2} 𝐞_{2} + a_{3} 𝐞_{3} = \sum_{i = 1}^{3} a_{i} 𝐞_{i}

És estàndar utilisar el conveni de suma d'Einstein: el signe de suma per a la suma d'un índex que està present exactament dos voltes dins d'un terme pot suprimir-se per a major concisión en la notació:

𝐚 = \sum_{i = 1}^{3} a_{i} 𝐞_{i} \equiv a_{i} 𝐞_{i}

Una ventaja de la notació indexada sobre les notacions de coordenades específiques és l'independència de la dimensió de l'espai vectorial subjacent, és dir, la mateixa expressió en el costat dret pren la mateixa forma en dimensions superiors (vore més alvance). Anteriorment, les etiquetes cartesianas x, i, z eren solament etiquetes i no índexs (de manera informal, es pot dir que "i = x, i, z").

Tensors de segon orde en tres dimensions

Un tensor diàdic T és un tensor d'orde 2 format pel producte tensorial $\otimes$ de dos vectores cartesianos $a$ i $b$ , escrits $T = a \otimes b$ . De manera anàloga als vectores, es pot escriure com una combinació llineal de la base tensorial $i x \otimes i x \equiv i xx$ , $i x \otimes i i \equiv i xy$ , ..., $i z \otimes i z \equiv i zz$ (el costat dret de cada identitat és solament una abreviatura, res més):

\begin{matrix} 𝐓 = & (a_{x} 𝐞_{x} + a_{y} 𝐞_{y} + a_{z} 𝐞_{z}) \otimes (b_{x} 𝐞_{x} + b_{y} 𝐞_{y} + b_{z} 𝐞_{z}) \\ = & a_{x} b_{x} 𝐞_{x} \otimes 𝐞_{x} + a_{x} b_{y} 𝐞_{x} \otimes 𝐞_{y} + a_{x} b_{z} 𝐞_{x} \otimes 𝐞_{z} \\ + & a_{y} b_{x} 𝐞_{y} \otimes 𝐞_{x} + a_{y} b_{y} 𝐞_{y} \otimes 𝐞_{y} + a_{y} b_{z} 𝐞_{y} \otimes 𝐞_{z} \\ + & a_{z} b_{x} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{x} + a_{z} b_{y} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{y} + a_{z} b_{z} 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{z} \end{matrix}

Representant cada tensor de base com una matriu:

\begin{matrix} 𝐞_{x} \otimes 𝐞_{x} & \equiv 𝐞_{xx} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), & 𝐞_{x} \otimes 𝐞_{y} & \equiv 𝐞_{xy} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}), & 𝐞_{z} \otimes 𝐞_{z} & \equiv 𝐞_{zz} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \end{matrix}

llavors $T$ es pot representar de forma més sistemàtica com una matriu:

𝐓 = (\begin{matrix} a_{x} b_{x} & a_{x} b_{y} & a_{x} b_{z} \\ a_{y} b_{x} & a_{y} b_{y} & a_{y} b_{z} \\ a_{z} b_{x} & a_{z} b_{y} & a_{z} b_{z} \end{matrix})

Consulte's l'artícul sobre multiplicació de matrius per a conéixer la correspondència de la notació entre matrius i els productes escalares i tensoriales.

De manera més general, siga o no $T$ un producte tensorial de dos vectores, sempre és una combinació llineal dels tensors de base en coordenades $T xx$ , $T xy$ , ..., $T zz$ :

\begin{matrix} 𝐓 = & T_{xx} 𝐞_{xx} + T_{xy} 𝐞_{xy} + T_{xz} 𝐞_{xz} \\ + & T_{yx} 𝐞_{yx} + T_{yy} 𝐞_{yy} + T_{yz} 𝐞_{yz} \\ + & T_{zx} 𝐞_{zx} + T_{zy} 𝐞_{zy} + T_{zz} 𝐞_{zz} \end{matrix}

mentres que en térmens d'índexs tensoriales:

𝐓 = T_{i j} 𝐞_{i j} \equiv \sum_{i j} T_{i j} 𝐞_{i} \otimes 𝐞_{j},

i en forma matricial:

𝐓 = (\begin{matrix} T_{xx} & T_{xy} & T_{xz} \\ T_{yx} & T_{yy} & T_{yz} \\ T_{zx} & T_{zy} & T_{zz} \end{matrix})

Els tensors de segon orde apareixen naturalment en física i ingenieria quan les magnituts tenen una dependència direccional en el sistema, a sovint en forma de estímul-resposta. Açò es pot vore matemàticament a través d'un aspecte dels tensors: són funcions multilineales. Un tensor de segon orde T que transforma un vector o de certa magnitut i direcció tornarà un vector v en general de diferent magnitut i en diferent direcció a o. La notació utilisada per a una funció en anàlisis matemàtic du a escriure $v - T (o)$ ,^[1] mentres que la mateixa idea es pot expressar en notacions matriciales i índexs^[2] (inclosa la convenció de la suma), respectivament:

\begin{matrix} (\begin{matrix} v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{matrix}) & = (\begin{matrix} T_{xx} & T_{xy} & T_{xz} \\ T_{yx} & T_{yy} & T_{yz} \\ T_{zx} & T_{zy} & T_{zz} \end{matrix}) (\begin{matrix} u_{x} \\ u_{y} \\ u_{z} \end{matrix}), & v_{i} & = T_{i j} u_{j} \end{matrix}

Per la condició de linealidad, si $o = ρ r + σ s$ per a dos escalares $ρ$ i $σ$ i vectores $r$ i $s$ , llavors en notacions de funció i índex:

\begin{matrix} 𝐯 & = & 𝐓 (ρ 𝐫 + σ 𝐬) & = & ρ 𝐓 (𝐫) + σ 𝐓 (𝐬) \\ v_{i} & = & T_{i j} (ρ r_{j} + σ s_{j}) & = & ρ T_{i j} r_{j} + σ T_{i j} s_{j} \end{matrix}

i de manera similar per a la notació matricial. Les notacions de funció, matriu i índex signifiquen lo mateix. Les formes matriciales proporcionen una visualisació clara dels components, mentres que la forma indexada permet una manipulació tensorial-algebraica més senzilla de les fòrmules i d'aspecte més compacte. Abdós proporcionen l'interpretació física de les direccions; els vectores tenen una direcció, mentres que els tensors de segon orde conecten dos direccions. Es pot associar un índex tensorial o una etiqueta de coordenades en una direcció de vector base.

L'us de tensors de segon orde és el mínim per a descriure canvis en magnituts i direccions de vectores, ya que el producte escalar de dos vectores és sempre un escalar, mentres que el producte vectorial de dos vectores és sempre un seudovector perpendicular al pla definit pels dos vectores, per lo que estos productes de vectores per sí solo no poden obtindre un nou vector de qualsevol magnitut en unq direcció qualsevol (consulte's també a continuació per a obtindre més informació sobre els productes escalar i vectorial). El producte tensorial de dos vectores és un tensor de segon orde, encara que no té una interpretació direccional òbvia per sí solament.

Es pot continuar en l'idea anterior: si $T$ pren dos vectores $p$ i $q$ , tornarà un escalar $r$ . En notació de funcions s'escriu $r = T (p, q)$ , mentres que en notacions matriciales i indexada (inclosa la convenció de suma) respectivament:

r = (\begin{matrix} p_{x} & p_{y} & p_{z} \end{matrix}) (\begin{matrix} T_{xx} & T_{xy} & T_{xz} \\ T_{yx} & T_{yy} & T_{yz} \\ T_{zx} & T_{zy} & T_{zz} \end{matrix}) (\begin{matrix} q_{x} \\ q_{y} \\ q_{z} \end{matrix}) = p_{i} T_{i j} q_{j}

El tensor T és llineal en abdós vectores d'entrada. Quan els vectores i els tensors s'escriuen sense referència a components i no s'utilisen índexs, a voltes es coloca un punt · a on es prenen les sumes dels índexs (coneguts com contracció tensorial). Per als casos anteriors:^[1]^[2]

\begin{matrix} 𝐯 & = 𝐓 \cdot 𝐮 \\ r & = 𝐩 \cdot 𝐓 \cdot 𝐪 \end{matrix}

motivat per la notació del producte escalar:

𝐚 \cdot 𝐛 \equiv a_{i} b_{i}

De manera més general, un tensor d'orde $m$ que transforma vectores de diemnsión $n$ (a on $n$ està entre $0$ i $m$ inclusivament) tornarà un tensor d'orde $m - n$ (consulte's el paràgraf sobre aplicacions multilineales per a obtindre més generalisacions i detalls). Els conceptes anteriors també s'apliquen a seudovectores de la mateixa manera que als vectores. Els propis vectores i tensors poden variar en l'espai, en que el seu casose tenen camps vectorials i camps tensoriales, i també poden dependre del temps.

A continuació es mostren alguns eixemples:

L'aplicació d'un(a)...	...a un material o objecte de...	...resulta en...	...en el material o objecte, donat per:
vector unitari $n$	tensor de tensió $σ$	una força de tracció $t$	$𝐭 = 𝝈 \cdot 𝐧$
velocitat angular $ω$	moment d'inèrcia $I$	un moment angular $J$	$𝐉 = 𝐈 \cdot 𝝎$
velocitat angular $ω$	moment d'inèrcia $I$	una energia cinètica rotational $T$	$T = \frac{1}{2} 𝝎 \cdot 𝐈 \cdot 𝝎$
camp elèctric $I$	conductivitat elèctrica $σ$	un fluix de densitat de corrent $J$	$𝐉 = 𝝈 \cdot 𝐄$
camp elèctric $I$	polarizabilidad $α$ (relacionada en la permitividad $ε$ i la susceptibilitat elèctrica $χ I$ )	un camp de polarisació induïda $P$	$𝐏 = 𝜶 \cdot 𝐄$
camp magnètic $H$	permeabilidad magnètica $μ$	un camp magnètic $B$	$𝐁 = 𝝁 \cdot 𝐇$

Per a l'eixemple de la conducció elèctrica, les notacions indexada i matricial serien:

\begin{matrix} J_{i} & = σ_{i j} E_{j} \equiv \sum_{j} σ_{i j} E_{j} \\ (\begin{matrix} J_{x} \\ J_{y} \\ J_{z} \end{matrix}) & = (\begin{matrix} σ_{xx} & σ_{xy} & σ_{xz} \\ σ_{yx} & σ_{yy} & σ_{yz} \\ σ_{zx} & σ_{zy} & σ_{zz} \end{matrix}) (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \\ E_{z} \end{matrix}) \end{matrix}

mentres que per a l'energia cinètica rotacional $T$ :

\begin{matrix} T & = \frac{1}{2} ω_{i} I_{i j} ω_{j} \equiv \frac{1}{2} \sum_{i j} ω_{i} I_{i j} ω_{j}, \\ = \frac{1}{2} (\begin{matrix} ω_{x} & ω_{y} & ω_{z} \end{matrix}) (\begin{matrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{matrix}) (\begin{matrix} ω_{x} \\ ω_{y} \\ ω_{z} \end{matrix}) . \end{matrix}

Consulte també equació constitutiva per a obtindre eixemples més particulars.

Vectores i tensors en $n$ dimensions

En l'espai euclídeo de dimensió $n$ sobre els número real, $ℝ^{n}$ , la base estàndar es denota com $i 1$ , $i 2$ , $i 3$ , ... $i n$ . Cada vector de la base $i i$ apunta en l'eix positiu $x i$ , sent la base ortonormal. La component $j$ de $i i$ ve donada per la delta de Kronecker:

(𝐞_{i})_{j} = δ_{i j}

Un vector en $ℝ^{n}$ pren la forma:

𝐚 = a_{i} 𝐞_{i} \equiv \sum_{i} a_{i} 𝐞_{i} .

De manera similar per al tensor d'orde 2 anterior, per a cada vector a i b en $ℝ^{n}$ :

𝐓 = a_{i} b_{j} 𝐞_{i j} \equiv \sum_{i j} a_{i} b_{j} 𝐞_{i} \otimes 𝐞_{j},

o més generalment:

𝐓 = T_{i j} 𝐞_{i j} \equiv \sum_{i j} T_{i j} 𝐞_{i} \otimes 𝐞_{j} .

Transformacions de vectores cartesianos (qualsevol número de dimensions)

Archiu:Rectangular coordinate system position vector index lowered.svg

La mateixa posició

x

representats en dos sistemes de coordenades rectangulars 3D, cada u en una base ortonormal. Els cuboides ilustren la regla del paralelogramo per a sumar components vectorials.

Significat de invariancia baixe transformacions de coordenades

La posició $x$ en $ℝ^{n}$ és un eixemple simple i comú d'un vector, i es pot representar en qualsevol sistema de coordenades. Considere's únicament el cas de les coordenades cartesianas en bases ortonormals. És possible tindre un sistema de coordenades en geometria rectangular si els vectores de la base són tots mútuament perpendiculars i no estan normalisats, en el cas dels quals la base és ortogonal pero no ortonormal. No obstant, les bases ortonormals són més fàcils de manipular i s'utilisen en freqüència en la pràctica. Els següents resultats són vàlits per a bases ortonormals, no ortogonals.

En un sistema de coordenades rectangular, $x$ com contravector té coordenades $x i$ i vectores base $i i$ , mentres que com covector té coordenades $x i$ i covectores base $i i$ , i es té que:

\begin{matrix} 𝐱 & = x^{i} 𝐞_{i}, & 𝐱 & = x_{i} 𝐞^{i} \end{matrix}

En un atre sistema de coordenades rectangular, $x$ com contravector té coordenades $Plantilla:Overline i$ i base $Plantilla:Overline i$ , mentres que com covector té coordenades $Plantilla:Overline i$ i base $Plantilla:Overline i$ , i llavors:

\begin{matrix} 𝐱 & = {\bar{x}}^{i} {\bar{𝐞}}_{i}, & 𝐱 & = {\bar{x}}_{i} {\bar{𝐞}}^{i} \end{matrix}

Cada nova coordenada és funció de totes les antigues, i viceversa per a la funció inversa:

\begin{matrix} \bar{x}^{i} = \bar{x}^{i} (x^{1}, x^{2}, \dots) & ⇌ x^{i} = x^{i} ({\bar{x}}^{1}, {\bar{x}}^{2}, \dots) \\ \bar{x}_{i} = \bar{x}_{i} (x_{1}, x_{2}, \dots) & ⇌ x_{i} = x_{i} ({\bar{x}}_{1}, {\bar{x}}_{2}, \dots) \end{matrix}

i de manera similar cada nou vector base és funció de tots els antics, i viceversa per a la funció inversa:

\begin{matrix} \bar{𝐞}_{j} = \bar{𝐞}_{j} (𝐞_{1}, 𝐞_{2}, \dots) & ⇌ 𝐞_{j} = 𝐞_{j} ({\bar{𝐞}}_{1}, {\bar{𝐞}}_{2}, \dots) \\ \bar{𝐞}^{j} = \bar{𝐞}^{j} (𝐞^{1}, 𝐞^{2}, \dots) & ⇌ 𝐞^{j} = 𝐞^{j} ({\bar{𝐞}}^{1}, {\bar{𝐞}}^{2}, \dots) \end{matrix}

per a tots els $i$ , $j$ .

Un vector és invariante davant qualsevol canvi de base, per lo que si les coordenades es transformen segons una matriu de transformació $L$ , les bases es transformen segons la matriu invertible $L -1$ ; i a l'inversa, si les coordenades es transformen segons una matriu $L -1$ inversa, les bases es transformen segons la matriu $L$ . La diferència entre cada una d'estes transformacions es mostra convencionalment a través dels índexs com a superíndexs de contravarianza i subíndexs d'covarianza, i les coordenades i bases són transformades linealmente segons les següents regles:

Elements vectorials	Llei de transformació contravariante	Llei de transformació covariant
Coordenades	${\bar{x}}^{j} = x^{i} (𝖫)_{i}^{j} = x^{i} 𝖫_{i}^{j}$	${\bar{x}}_{j} = x_{k} {(𝖫^{- 1})}_{j}^{k}$
Bases	${\bar{𝐞}}_{j} = {(𝖫^{- 1})}_{j}^{k} 𝐞_{k}$	${\bar{𝐞}}^{j} = (𝖫)_{i}^{j} 𝐞^{i} = 𝖫_{i}^{j} 𝐞^{i}$
Qualsevol vector	${\bar{x}}^{j} {\bar{𝐞}}_{j} = x^{i} 𝖫_{i}^{j} {(𝖫^{- 1})}_{j}^{k} 𝐞_{k} = x^{i} δ_{i}^{k} 𝐞_{k} = x^{i} 𝐞_{i}$	${\bar{x}}_{j} {\bar{𝐞}}^{j} = x_{i} {(𝖫^{- 1})}_{j}^{i} 𝖫_{k}^{j} 𝐞^{k} = x_{i} δ^{i}_{k} 𝐞^{k} = x_{i} 𝐞^{i}$

a on $L i j$ representa els valors de la matriu de transformació (el número de fila és $i$ i el número de columna és $j$ ) i $(L -1) i k$ denota els valires de la matriu inversa de la matriu $L i k$ .

Si $L$ és una transformació ortogonal (matriu ortogonal), els objectes que transforma es definixen com a tensors cartesianos. Açò geomètricament té l'interpretació de que un sistema de coordenades rectangular s'assigna a un atre sistema de coordenades rectangular, en el que es conserva la norma del vector $x$ (i es conserven les distàncies).

El determinant de $L$ és $det(L)= \pm1$ , lo que correspon a dos tipos de transformacions ortogonals: ( $+1$ ) para rotacions i ( $-1$ ) para rotacions impròpies (incloses reflexions).

Existixen considerables simplificació algebraiques, la matriu transpuesta és l'inversa de la definició d'una transformació ortogonal:

𝖫^{𝖳} = 𝖫^{- 1} \Rightarrow {(𝖫^{- 1})}_{i}^{j} = {(𝖫^{𝖳})}_{i}^{j} = (𝖫)^{j}_{i} = 𝖫^{j}_{i}

De la taula anterior, les transformacions ortogonals de covectores i contravectores són idèntiques. No hi ha necessitat de diferenciar entre índexs i subíndexs i, en este context i en les aplicacions a la física i l'ingenieria, els índexs solen ser tots subíndexs per a eliminar la confusió sobre la notació de les potències. Tots els índexs seran subíndexs en el restant d'este artícul. Es poden determinar els superíndexs i subíndexs reals considerant qué cantitats són covectores o contravectores i les regles de transformació rellevants.

S'apliquen exactament les mateixes regles de transformació a qualsevol vector $a$ , no solament al vector de posició. Si els seus components $a i$ no es transformen segons les regles, llavors $a$ no és un vector.

A pesar de la similitut entre les expressions anteriors, per al canvi de coordenades com $Plantilla:Overline j = L i j x i$ i l'acció d'un tensor sobre un vector com $b i = T ij a j$ , $L$ no és un tensor, pero $T$ sí ho és. En el canvi de coordenades, $L$ és una matriu, utilisada per a relacionar dos sistemes de coordenades rectangulars en bases ortonormals. Per al tensor que relaciona un vector en un vector, tots els vectores i tensors de l'equació pertanyen al mateix sistema de coordenades i base.

Derivades i elements de la matriu jacobiana

Els térmens de $L$ són les derivades parcials de les coordenades noves o antigues sobre les coordenades antigues o noves, respectivament.

Diferenciant $Plantilla:Overline i$ respecte a $x k$ :

\frac{\partial {\bar{x}}_{i}}{\partial x_{k}} = \frac{\partial}{\partial x_{k}} (x_{j} 𝖫_{j i}) = 𝖫_{j i} \frac{\partial x_{j}}{\partial x_{k}} = δ_{k j} 𝖫_{j i} = 𝖫_{k i}

llavors

{𝖫_{i}}^{j} \equiv 𝖫_{i j} = \frac{\partial {\bar{x}}_{j}}{\partial x_{i}}

és un element de la matriu jacobiana. Existix una correspondència (parcialment mnemotècnica) entre les posicions d'índex adjuntes a L i en la derivada parcial: i en la part superior i j en la part inferior, en cada cas, encara que per a tensors cartesianos els índexs es poden escriure com a subíndexs.

Pel contrari, diferenciant $x j$ respecte a $Plantilla:Overline i$ :

\frac{\partial x_{j}}{\partial {\bar{x}}_{k}} = \frac{\partial}{\partial {\bar{x}}_{k}} ({\bar{x}}_{i} {(𝖫^{- 1})}_{i j}) = \frac{\partial {\bar{x}}_{i}}{\partial {\bar{x}}_{k}} {(𝖫^{- 1})}_{i j} = δ_{k i} {(𝖫^{- 1})}_{i j} = {(𝖫^{- 1})}_{k j}

llavors

{(𝖫^{- 1})}_{i}^{j} \equiv {(𝖫^{- 1})}_{i j} = \frac{\partial x_{j}}{\partial {\bar{x}}_{i}}

és un element de la matriu jacobiana inversa, en una correspondència d'índexs similar.

Numerosos texts expressen les transformacions en térmens de derivades parcials:

i les equacions matriciales explícites en 3d són:

\begin{matrix} \bar{𝐱} & = 𝖫 𝐱 \\ (\begin{matrix} {\bar{x}}_{1} \\ {\bar{x}}_{2} \\ {\bar{x}}_{3} \end{matrix}) & = (\begin{matrix} \frac{\partial {\bar{x}}_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial {\bar{x}}_{1}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial {\bar{x}}_{1}}{\partial x_{3}} \\ \frac{\partial {\bar{x}}_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial {\bar{x}}_{2}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial {\bar{x}}_{2}}{\partial x_{3}} \\ \frac{\partial {\bar{x}}_{3}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial {\bar{x}}_{3}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial {\bar{x}}_{3}}{\partial x_{3}} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) \end{matrix}

de manera similar para

𝐱 = 𝖫^{- 1} \bar{𝐱} = 𝖫^{𝖳} \bar{𝐱}

Proyeccions en eixos de coordenades

Archiu:Rectangular coordinate systems angles index lowered.svg

Dalt: ànguls dels

x i

eixos respecte als eixos

Plantilla:Overline i

. Avall: viceversa

Com ocorre en totes les transformacions llineals, $L$ depén de la base elegida. Per a dos bases ortonormals

\begin{matrix} {\bar{𝐞}}_{i} \cdot {\bar{𝐞}}_{j} & = 𝐞_{i} \cdot 𝐞_{j} = δ_{i j}, & | 𝐞_{i} | & = | {\bar{𝐞}}_{i} | = 1, \end{matrix}

Proyectant $x$ sobre els eixos $Plantilla:Overline$ : ${\bar{x}}_{i} = {\bar{𝐞}}_{i} \cdot 𝐱 = {\bar{𝐞}}_{i} \cdot x_{j} 𝐞_{j} = x_{i} 𝖫_{i j},$
Proyectant $x$ als eixos $x$ : $x_{i} = 𝐞_{i} \cdot 𝐱 = 𝐞_{i} \cdot {\bar{x}}_{j} {\bar{𝐞}}_{j} = {\bar{x}}_{j} {(𝖫^{- 1})}_{j i} .$

Per lo tant, les components es reduïxen als cosenos directors entre els eixos $Plantilla:Overline i$ i $x j$ :

\begin{matrix} 𝖫_{i j} & = {\bar{𝐞}}_{i} \cdot 𝐞_{j} = \cos θ_{i j} \\ {(𝖫^{- 1})}_{i j} & = 𝐞_{i} \cdot {\bar{𝐞}}_{j} = \cos θ_{j i} \end{matrix}

a on $θ ij$ i $θ ji$ són els ànguls entre els eixos $Plantilla:Overline i$ i $x j$ . En general, $θ ij$ no és igual a $θ ji$ , perque per eixemple $θ 12$ i $θ 21$ són dos ànguls diferents.

La transformació de coordenades es pot escriure:

i les equacions matriciales explícites en 3d són:

\begin{matrix} \bar{𝐱} & = 𝖫 𝐱 \\ (\begin{matrix} {\bar{x}}_{1} \\ {\bar{x}}_{2} \\ {\bar{x}}_{3} \end{matrix}) & = (\begin{matrix} {\bar{𝐞}}_{1} \cdot 𝐞_{1} & {\bar{𝐞}}_{1} \cdot 𝐞_{2} & {\bar{𝐞}}_{1} \cdot 𝐞_{3} \\ {\bar{𝐞}}_{2} \cdot 𝐞_{1} & {\bar{𝐞}}_{2} \cdot 𝐞_{2} & {\bar{𝐞}}_{2} \cdot 𝐞_{3} \\ {\bar{𝐞}}_{3} \cdot 𝐞_{1} & {\bar{𝐞}}_{3} \cdot 𝐞_{2} & {\bar{𝐞}}_{3} \cdot 𝐞_{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos θ_{11} & \cos θ_{12} & \cos θ_{13} \\ \cos θ_{21} & \cos θ_{22} & \cos θ_{23} \\ \cos θ_{31} & \cos θ_{32} & \cos θ_{33} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) \end{matrix}

similarment para

𝐱 = 𝖫^{- 1} \bar{𝐱} = 𝖫^{𝖳} \bar{𝐱}

L'interpretació geomètrica és que les components $Plantilla:Overline i$ són iguals a la suma de proyectar les components $x j$ sobre els eixos $Plantilla:Overline j$ .

Els números $i i \cdot i j$ ordenats en una matriu formarien una matriu simètrica (una matriu igual a la seua pròpia transpuesta) per la simetria en els productes escalares, de fet és el tensor mètric $g$ . Pel contrari, $i i \cdot Plantilla:Overline j$ o $Plantilla:Overline i \cdot i j$ no formen matrius simètriques en general, com es mostra dalt. Per lo tant, si be les matrius $L$ seguixen sent ortogonals, no són simètriques.

A banda d'una rotació al voltant de qualsevol eix, en la que $x i$ i $Plantilla:Overline i$ per a algun $i$ coincidixen, els ànguls no són els mateixos que els ànguls de Euler i, per lo tant, les matrius $L$ no són les mateixes que les matrius de rotació.

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 Gravitation, Macmillan. ISBN 0-7167-0344-0., utilisada en tot lo anterior
↑ ^2,0 ^2,1 T. W. B. Kibble (1973). Classical Mechanics, 2nd edició, McGraw Hill. ISBN 978-0-07-084018-8., vore l'Apèndix C.

Bibliografia

D. C. Kay (1988). Tensor Calculus, McGraw Hill, pp. 18–19, 31–32. ISBN 0-07-033484-6.
(2009) Vector analysis, 2nd edició, McGraw Hill, p. 227. ISBN 978-0-07-161545-7.
J.R. Tyldesley (1975). An introduction to tensor analysis for engineers and applied scientists, Longman, pp. 5–13. ISBN 0-582-44355-5.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Tensor cartesiano» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[MTW_notation-1] 1,0 ^1,1 Gravitation, Macmillan. ISBN 0-7167-0344-0., utilisada en tot lo anterior

[Kibble_notation-2] 2,0 ^2,1 T. W. B. Kibble (1973). Classical Mechanics, 2nd edició, McGraw Hill. ISBN 978-0-07-084018-8., vore l'Apèndix C.

[1]

[2]

Base cartesiana i terminologia relacionada

Vectores en tres dimensions

Tensors de segon orde en tres dimensions

Vectores i tensors en n dimensions

Transformacions de vectores cartesianos (qualsevol número de dimensions)

Significat de invariancia baixe transformacions de coordenades

Derivades i elements de la matriu jacobiana

Proyeccions en eixos de coordenades

Vore també

Referències

Bibliografia

Referències

Vectores i tensors en $n$ dimensions