Matriu de transformació

Archiu:Perspective transformation matrix 2D.svg

Archiu:2D affine transformation matrix es.svg

Efecte d'aplicar vàries matrius de transformació afí 2D sobre un quadrat unitari (de costat 1). Tinga's en conte que les matrius de reflexió són casos especials de la matriu d'escala

En àlgebra llineal, una aplicació llineal es pot representar per mig d'una matriu. Si $T$ és una transformació llineal que representa una aplicació de $ℝ^{n}$ sobre $ℝ^{m}$ i $\vec{x}$ és un vector columna en $n$ components, llavors

T (\vec{x}) = 𝐀 \vec{x}

per a una matriu $A$ de dimensió $m \times n$ , denominada matriu de transformació de $T$ . Deu tindre's en conte que $A$ té $m$ files i $n$ columnes, mentres que la transformació $T$ és de $ℝ^{n}$ a $ℝ^{m}$ . Alguns autors ampren expressions alternatives de matrius de transformació que utilisen vectores fila en lloc de vectores columna, pero es tracta d'una circumstància merament formal.

Utilisació

Les matrius permeten mostrar aplicacions llineals arbitràries en un format coherent, molt adequat per al càlcul.^[1] Ademés, presenta la ventaja de permetre concatenar fàcilment transformacions successives (multiplicant les seues matrius).

Les transformacions llineals no són les úniques que es poden representar per mig de matrius. Algunes transformacions que no són llineals en un espai euclídeo Rⁿ de n dimensions es poden representar com a transformacions llineals en l'espai n+1 dimensional Rⁿ⁺¹, a on s'inclouen tant transformacions afins (com per eixemple les translacions) com homografia. Per esta raó, les matrius de transformació de 4×4 s'utilisen àmpliament en gràfics 3D per computadora. Estes matrius de transformació n+1 dimensionals es denominen, segons la seua aplicació, matrius de transformació afí, matrius de transformació proyectiva o, més generalment, matrius de transformació no llineal. Sobre una matriu n dimensional, una matriu n+1 dimensional es pot descriure com una matriu aumentada.

En les ciències físiques, una transformació activa és aquella que realment canvia la posició física d'un sistema, i té sentit inclús en absència d'un sistema de coordenades, mentres que una transformació passiva és un canvi en la descripció de coordenades del sistema físic (canvi de bases). La distinció entre transformacions actives i passives és important. Per defecte, quan en matemàtiques es parla de transformació, normalment es fa referència a transformacions actives, mentres que en física pot designar qualsevol dels dos tipos.

Dit d'una atra manera, una transformació passiva es referix a la descripció del mateix objecte vist des de dos marcs de coordenades diferents.

Determinació de la matriu d'una transformació

Si es dispon d'una transformació llineal $T (x)$ en la seua forma funcional, és fàcil determinar la matriu de transformació A transformant cada u dels vectores del seu base canònica per T, i després insertant el resultat en les columnes d'una matriu. En atres paraules,

𝐀 = [\begin{matrix} T ({\vec{e}}_{1}) & T ({\vec{e}}_{2}) & \dots & T ({\vec{e}}_{n}) \end{matrix}]

Per eixemple, la funció $T (x) = 5 x$ és una transformació llineal. L'aplicació del procés anterior (suponent que n=2 en este cas) revela que

T (\vec{x}) = 5 \vec{x} = 5 𝐈 \vec{x} = [\begin{matrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix}] \vec{x}

La representació matricial de vectores i operadors depén de la base elegida; el resultat de prendre la base alternada (ordenada d'una atra manera) és una matriu semblant. No obstant, el método per a trobar els components seguix sent el mateix.

Per a operar, el vector v es representa com una combinació llineal respecte als vectores de la base, $E = [{\vec{e}}_{1} {\vec{e}}_{2} \dots {\vec{e}}_{n}]$ en coordenades $[v]_{E} = [v_{1} v_{2} \dots v_{n}]^{T}$ :

\vec{v} = v_{1} {\vec{e}}_{1} + v_{2} {\vec{e}}_{2} + \dots + v_{n} {\vec{e}}_{n} = \sum v_{i} {\vec{e}}_{i} = E [v]_{E}

Ara, expressant el resultat de la matriu de transformació A sobre $\vec{v}$ , en la base donada:

\begin{matrix} A (\vec{v}) & = A (\sum v_{i} {\vec{e}}_{i}) = \sum v_{i} A ({\vec{e}}_{i}) = [A ({\vec{e}}_{1}) A ({\vec{e}}_{2}) \dots A ({\vec{e}}_{n})] [v]_{E} \\ = A \cdot [v]_{E} = [{\vec{e}}_{1} {\vec{e}}_{2} \dots {\vec{e}}_{n}] [\begin{matrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, n} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & \dots & a_{2, n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \dots & a_{n, n} \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}] \end{matrix}

Els elements $a_{i, j}$ de la matriu As determinen per a una base I donada aplicant A a cada ${\vec{e}}_{j} = [00 \dots (v_{j} = 1) \dots 0]^{T}$ , sent el vector obtingut

A {\vec{e}}_{j} = a_{1, j} {\vec{e}}_{1} + a_{2, j} {\vec{e}}_{2} + \dots + a_{n, j} {\vec{e}}_{n} = \sum a_{i, j} {\vec{e}}_{i} .

Esta equació definix els elements buscats $a_{i, j}$ de la j-ésima columna de la matriu A.^[2]

Base de vectores propis i matriu diagonal

Artícul principal → Matriu diagonal.

No obstant, existix una base especial per a una transformació, en la que els seus components formen una matriu diagonal i, per lo tant, la complexitat de la multiplicació es reduïx a n. Ser diagonal significa que tots els seus coeficients $a_{i, j}$ (llevat els $a_{i, i}$ ) són zeros, deixant solament un terme no nul en la suma anterior $\sum a_{i, j} {\vec{e}}_{i}$ . Els elements diagonals no nuls, $a_{i, i}$ , es coneixen com a valors propis i es designen en $λ_{i}$ en l'equació de definició, que es reduïx a $A {\vec{e}}_{i} = λ_{i} {\vec{e}}_{i}$ . L'equació resultant es coneix com a equació de valors propis.^[3] Els valors i vectores propis es calculen per mig del polinomi característic de la matriu.

Per mig de la diagonalización d'una matriu és possible obtindre un canvi de bases cap a i des de bases de vectores propis.

Vore també

Referències

↑ (2007) «Matrix Transformations and Factorizations», Matrix Algebra: Theory, Computations, and Applications in Statistics, Springer. ISBN 9780387708737.
↑ Nearing, James (2010). «Chapter 7.3 Examples of Operators», Mathematical Tools for Physics. ISBN 978-0486482125. Consultat el 1 de giner de 2012.
↑ Nearing, James (2010). «Chapter 7.9: Eigenvalues and Eigenvectors», Mathematical Tools for Physics. ISBN 978-0486482125. Consultat el 1 de giner de 2012.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Matriz de transformación» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] (2007) «Matrix Transformations and Factorizations», Matrix Algebra: Theory, Computations, and Applications in Statistics, Springer. ISBN 9780387708737.

[2] Nearing, James (2010). «Chapter 7.3 Examples of Operators», Mathematical Tools for Physics. ISBN 978-0486482125. Consultat el 1 de giner de 2012.

[3] Nearing, James (2010). «Chapter 7.9: Eigenvalues and Eigenvectors», Mathematical Tools for Physics. ISBN 978-0486482125. Consultat el 1 de giner de 2012.

[1]

[2]

[3]