Geometria de les transformacions

Archiu:Simx2=transl caps block 0 .svg

Una reflexió respecte a un eix seguida per una atra reflexió respecte a un segon eix paralel al primer dona com resultat un moviment total que és un translació.

Archiu:Simx2=rotOK.svg

Una reflexió respecte a un eix seguida per una reflexió respecte a un segon eix que no és paralel al primer, dona com resultat un moviment total que és un moviment de rotació al voltant del punt d'intersecció dels dos eixos.

La geometria de les transformacions (o geometria transformacional) es referix a una teoria pedagògica sobre l'ensenyança de la geometria euclídea que té com a base el Programa de Erlangen, propost pel matemàtic alemà Felix Klein (1849-1925). Enfoca l'estudi de la geometria centrant-se en el concepte dels grups de transformacions geomètriques, i en les seues propietats invariantes subjacents. S'opon a l'enfocament clàssic de la geometria sintètica d'euclídea, que se centra en la demostració de teoremas.

Per eixemple, dins de la geometria de les transformacions, les propietats d'un triàngul isósceles es deduïxen del fet de que una reflexió permet assignar-se a sí mateixa respecte a una determinada recta. Açò contrasta en les proves clàssiques segons els criteris com la congruència de triànguls.

Orige

El primer esforç sistemàtic per a usar les transformacions com la base de la geometria va ser realisat per Felix Klein en el XIX, baix el nom de Programa de Erlangen. Durant casi un sigle, este enfocament es va llimitar als círculs d'investigació matemàtica. En el XX es varen fer esforços per a explotar-ho com a base de l'educació matemàtica. Andréi Kolmogórov va incloure este enfocament (junt en la teoria de conjunts) com a part d'una proposta per a la reforma de l'ensenyança de la geometria en Rússia. Estos esforços varen culminar en la década de 1960 en la reforma general de l'ensenyança de les matemàtiques coneguda com el moviment de la matemàtica moderna.

Pedagogia

Una exploració de la geometria de les transformacions a sovint comença en un estudi de les simetria que es troba en la vida diària. La primera transformació real és la reflexió respecte a una recta o reflexió respecte a un eix. La composició de dos reflexions dona com resultat un moviment de rotació quan les llínees es intersecan, o una translació quan són paraleles. Aixina a través de les transformacions els alumnes deprenen sobre l'isometría afí. Per eixemple, si es considera la reflexió respecte a una llínea vertical i a una llínea inclinada a 45° sobre l'horisontal, es pot observar que una composició produïx un quarto de gir en sentit antihorario (90°), mentres que la composició inversa produïx un quarto de gir en el sentit de les agulles del rellonge. Tals resultats mostren que la geometria de les transformacions inclou processos conmutativos.

Una curiosa aplicació de la reflexió respecte a una llínea es dona en la construcció del triàngul d'un sèptim de l'àrea a partir de qualsevol triàngul.

Una atra transformació explicada als jóvens estudiants és l'escalat de les figures. No obstant, la reflexió respecte a un círcul sembla inapropiada per als graus més baixos. Per lo tant, la geometria d'inversió, un estudi més ampli que la geometria de transformació de l'escola primària, sol reservar-se per a estudiants universitaris.

Els experiments en grup de simetrias concrets donen pas a la teoria de grups abstracta. Atres activitats concretes utilisen càlculs en número complexos, número hipercomplejos o matrius per a expressar la geometria de les transformacions.

Estes lliçons de geometria presenten una visió alternativa que contrasta en la geometria sintètica clàssica. Quan els estudiants es troben en la geometria analítica, les idees de la rotació i la reflexió de coordenades es comprenen fàcilment. Tots estos conceptes són la base del àlgebra llineal, a on s'expandix el concepte de reflexió.

Els educadors han mostrat cert interés i han descrit proyectes i experiències en la geometria de les transformacions per a chiquets des del jardí d'infants fins a l'escola secundària. En el cas dels chiquets de molt curta edat, per a evitar l'introducció d'una nova terminologia i establir vínculs en l'experiència quotidiana dels estudiants en objectes concrets, a voltes es recomanava usar paraules en les que estan familiarizados, com a reflexos per a les reflexions, marcs per a les translacions, i girs per a les rotacions, encara que no es corresponguen en un llenguage matemàtic precís. En algunes propostes, els estudiants comencen en objectes concrets abans de realisar les transformacions abstractes a través de les seues definicions d'un aplicació de cada punt de la figura.

En un intent per reestructurar els cursos de geometria en Rússia, Kolmogorov va sugerir presentar-los baix el punt de vista de les transformacions, per lo que els cursos de geometria es varen estructurar en base en la teoria de conjunts. Açò va dur a l'aparició en les escoles del terme congruents per a les sifres que abans es dien iguals: com una figura es vea com un conjunt de punts, solament podia ser igual a sí mateixa i dos triànguls que poden superpondre's per isometría es diu que són congruents.

Un autor va expressar l'importància de la teoria de grups per a la geometria de transformació de la següent manera:

M'he pres la molèstia de desenrollar des dels primers principis tota la teoria de grups que necessite, en l'intenció de que el meu llibre puga servir com una primera introducció als grups de transformació, i les nocions de la teoria de grups abstracta si mai l'has vist.