Proyecció tridimensional

Archiu:Picture plane projection.png

Proyecció d'un objecte tridimensional sobre un pla

La proyecció tridimensional es referix a un conjunt de tècniques per a representar un objecte tridimensional en una superfície bidimensional.

El seu us és estés en dibuix tècnic, i és part fonamental de distints softwares per a la creació de gràfics.

Proyecció ortogràfica

Archiu:Zweitafelproj-kreuzriss.png

Planta, alçat i perfil d'un objecte tridimensional (proyeccions ortogràfiques segons tres eixos ortogonals)

Archiu:Haus-karo-axonometrie.svg

Representació axonomètrica (proyecció cilíndrica) de l'objecte anterior

Artícul principal → Proyecció ortogràfica.

Quan l'ull humà mira una escena, els objectes lluntans semblen més menuts que els objectes propencs. La proyecció ortogràfica ignora este efecte per a permetre la creació de dibuixos a escala per a la construcció i l'ingenieria.

Les proyeccions ortogonals són un chicotet conjunt de transformacions que a sovint s'utilisen per a mostrar el perfil, el detall o les mides precises d'un objecte tridimensional. Els noms comuns per a les proyeccions ortogràfiques inclouen la planta, les seccions travesseres, els plans a vista de pardal i els distints sistemes d'elevació del volum.

Si la llínea normal al pla de visió (la direcció a la que es dirigix la cambra) és paralela a un dels eixos principals de coordenades (l'eix x, i o z), la transformació matemàtica pren formes particularment senzilles. Per eixemple, per a proyectar el punt 3D $a_x$, $a_y$, $a_z$ en el punt 2D $b_x$, $b_y$ usant una proyecció ortogràfica paralela a l'eix i (a on la "i" positiva representa la direcció cap a avant en el sentit de la vista del perfil), es poden usar les següents equacions:

$b_x=s_x{a}_x+c_x$

$b_y=s_z{a}_z+c_z$

a on el vector s és un factor d'escala arbitrari, i c és un desplaçament arbitrari. Estes constants són opcionals i es poden usar per a alinear correctament la finestra gràfica. Usant multiplicació de matrius, les equacions es convertixen en:

$\left[\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& 0& s_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{c}_x\\ c_z\end{array}\right]$.

Mentres que les imàgens proyectades ortográficamente representen la naturalea tridimensional de l'objecte proyectat, no representen l'objecte tal com seria gravat fotográficamente o percebut per un espectador que ho observa directament. En particular, les llongituts paraleles en tots els punts d'una image proyectada ortográficamente són de la mateixa escala, independentment de si estan molt llunt o prop de l'espectador. Com a resultat, les llongituts no s'acurten com lo estarien en una proyecció en perspectiva.

Proyecció en perspectiva dèbil

Una proyecció en perspectiva dèbil utilisa els mateixos principis d'una proyecció ortogràfica, pero requerix que s'especifique el factor d'escala, assegurant aixina que els objectes més propencs semblen més grans en la proyecció, i viceversa. Es pot vore com un híbrit entre una proyecció ortogràfica i una perspectiva, i es descriu com una proyecció en perspectiva en profunditats de punts individuals $Z_i$ reemplaçada per una profunditat constant promig $Z_{med}$, o simplement com una proyecció ortogràfica més una escala.

Per lo tant, el model de perspectiva dèbil aproxima la proyecció de perspectiva en usar un model més simple, similar a la perspectiva ortogràfica pura (sense escala).

És una aproximació raonable quan la profunditat de l'objecte en la llínea de visió és chicoteta en comparació a la distància des de la cambra, i el camp de visió és menut. En estes condicions, es pot supondre que tots els punts en un objecte 3D estan a la mateixa distància $Z_{med}$ de la cambra sense errors significatius en la proyecció (en comparació al model de perspectiva complet).

Equació

$\begin{array}{c}{P}_x=\frac{X}{Z_{med}}\\ P_y=\frac{Y}{Z_{med}}\end{array}$

assumint llongitut focal $𝑓=1$.