Representació (matemàtiques)

En matemàtiques, una representació és una relació general que expressa similituts (o equivalència) entre objectes o estructures matemàtiques. En térmens generals, una colecció I d'objectes matemàtics representa una atra colecció X d'objectes, sempre que les propietats i relacions existents entre els objectes representatius i_i es conformen, d'alguna manera consistent, a les que existixen entre els corresponents objectes representats x_i. Més específicament, donat un conjunt Π de propietats i relacions, una Π-representació d'alguna estructura X és una estructura I que és l'image de X baixe un homomorfisme que preserva Π. L'etiqueta representació a voltes també s'aplica al propi homomorfisme (com l'homomorfisme de grup en la teoria de grups ).

Potser l'eixemple millor desenrollat d'esta noció general siga el subcampo del àlgebra abstracta cridat teoria de la representació, que estudia la representació d'elements d'estructures algebraiques per mig de transformacions llineals d'espais vectorials.

Atres eixemples

Encara que el terme teoria de la representació està ben establit en el sentit algebraic analisat anteriorment, existixen molts atres usos del terme representació en totes les matemàtiques.

Teoria de grafos

Un àrea activa de la teoria de grafos és l'exploració d'isomorfismes entre grafos i atres estructures. Una classe clau de tals problemes sorgix del fet de que, de la mateixa manera que la adyacencia en gràfics no dirigits, l'intersecció de conjunts (o, més precisament, la no disjunción) és una relació simètrica. Açò dona orige a l'estudi de gràfics d'intersecció para innumerables famílies de conjunts. Un resultat fonamental, per Paul Erdős i els seus colegues, és que cada gràfic de n vèrtiços es pot representar en térmens d'interseccions entre subconjunts d'un conjunt de tamany no major que n²/4.

Representar a un gràfic per mig d'estructures algebraiques com la seua matriu de adyacencia i la matriu laplaciana dona lloc al camp de la teoria de grafos espectrals.

Teoria de l'orde

Dual a l'observació anterior de que cada gràfic és un gràfic d'intersecció és el fet de que cada conjunt parcialment ordenat (també conegut com poset) és isomorfo a una colecció de conjunts ordenats per la relació d'inclusió (o contenció) ⊆. Alguns posets que sorgixen com órdens d'inclusió per a classes naturals d'objectes inclouen les rets booleanas i els órdens de dimensió n .

Molts órdens parcials sorgixen de (i, per tant, poden ser representats per mig de) coleccions d'objectes geomètrics. Entre ells es troben les órdens de n-esfera. Els órdens d'1-bola són les órdens de contenció d'interval, i les órdens de 2-boles són els cridats órdens circulares, els posets representables en térmens de contenció entre discs en el pla. Un resultat particularment bell en este camp és la caracterisació dels gràfics plans, com aquells gràfics les relacions dels quals d'incidència vèrtiç-aresta són d'orde circular.

També hi ha representacions geomètriques que no es basen en l'inclusió. De fet, una de les classes millor estudiades són els órdens d'interval, que representen l'orde parcial en térmens de lo que podria cridar-se precedència disjunta d'intervals en la recta real: cada element x del poset està representat per un interval [x₁, x₂], de modo que per a qualsevol i i z en el poset, i està per davall de z si i solament si i₂ < z₁.

Llògica

En llògica, la representabilidad de les àlgebra com estructures relacionals s'utilisa a sovint per a demostrar l'equivalència de la semàntica algebraica i relacional . Eixemples d'açò inclouen la representació de Stone d'àlgebra de Boole com a camps de conjunts, la representació de Esakia d'àlgebra de Heyting com a àlgebra de Heyting de conjunts, i l'estudi de àlgebra de relacions representables i àlgebra cilíndriques representables.

Polisemia

En determinades circumstàncies, una sola funció f : X → I és al mateix temps un isomorfisme de vàries estructures matemàtiques en X . Ya que cada una d'eixes estructures pot considerar-se, intuitivament, com un significat de l'image I (una de les coses que I intenta dir-nos), este fenomen es diu polisemia, un terme pres de la llingüística. Alguns eixemples d'polisemia inclouen:

• Polisemia d'intersecció: parells de gràfics G₁ i G₂ en un conjunt de vèrtiços comú V poden ser representats simultàneament per una única colecció de conjunts S_v, de manera que qualsevol vèrtiç distint o i w en V són adjacents en G₁, si i només si els seus conjunts corresponents es creuen (S_o ∩ S_w ≠ Ø), i són adjacents en G₂ si i solament si els complements ho fan (S_o^C ∩ S_w^C ≠ Ø).

• Polisemia de competència: motivada per l'estudi de les rets alimentàries ecològiques, en les que parells d'espècies poden tindre assuts en comú o tindre depredadors en comú. Un parell de gràfics G₁ i G₂ en un conjunt de vèrtiços és polisèmic de competència, si i només si existix un únic gràfic dirigit D en el mateix conjunt de vèrtiços, tal que qualsevol vèrtiç distint o i v siguen adjacents en G_1, si i només si hi ha un vèrtiç w tal que tant uw i vw siguen arcs en D i siguen adjacents en G _2, si i només si hi ha un vèrtiç w tal que tant wu com wv siguen arcs en D.

• Polisemia d'intervals : parells de posets P₁ i P₂ en un conjunt comú que pot ser representat simultàneament per mig d'una única colecció d'intervals reals, com és una representació d'orde d'interval de P₁ i una representació de contenció d'interval de P₂.

Vore també

• Representació del grup
• Teoremes de representació
• Teoria de models