Equació de Korteweg-de Vries

L'equació de Korteweg-de Vries o KdV és una equació en derivades parcials que inclou efectes de no linealidad i dispersió al mateix temps. Físicament és un model que descriu, en una dimensió espacial, la propagació d'ones de llongitut d'ona llarga en mijos dispersivos. La propagació d'ones solitàries en la superfície de l'aigua, en canals poc profunts, és un eixemple de mig dispersivo en el que es poden trobar este tipo d'ones. En la física-matemàtica representa el prototip d'un sistema no llineal completament integrable. El método per mig del com es va mostrar el seu integrabilidad es coneix com el método de dispersió inversa. L'equació apareix escrita en la lliteratura de moltes formes i esta és una d'elles:

a on $x$ , $t$ i $v$ denoten posició espacial, temporal i amplitut respectivament. El primer terme de l'equació denota l'evolució temporal del destorbament o camp $v$ (es pot considerar com l'elevació de la superfície de l'aigua relativa a la seua posició d'equilibri), el segon és considerat el terme no llineal per la multiplicació entre $v$ i el seu primer derivada parcial sobre l'espai, i el tercer terme és el dispersivo per la tercera derivada parcial espacial de $v$ .

Propietats matemàtiques

Les següents són algunes de les seues propietats matemàtiques més importants. La transformació $v \to - v$ , $x \to - x$ , $t \to t$ convertix a l'equació en

$\frac{\partial v}{\partial t} + v \frac{\partial v}{\partial x} - μ \frac{\partial^{3} v}{\partial x^{3}} = 0$ ,

després llavors una solució per a $μ < 0$ es pot obtindre per mig d'una simple transformació d'una solució per a $μ > 0$ . Una atra propietat és que l'equació KdV posseïx solucions d'ones estacionarias progressives de la següent forma:

$v (x, t) = v (x - λ t) \equiv v (s)$ .

Si es substituye esta última expressió en l'equació KdV, seguit de dos integració sobre el paràmetro $s$ , s'obté lo següent

$3 μ {(\frac{d v}{d s})}^{2} = - v^{3} + 3 λ v^{2} + 6 α v + 6 β \equiv F (v)$ ,

a on

F (v) \equiv (v - c_{1}) (v - c_{2}) (c_{3} - v), c_{1} < c_{2} < c_{3}

,

λ = (c_{1} + c_{2} + c_{3}) / 3

,

α = - (c_{1} c_{2} + c_{2} c_{3} + c_{3} c_{1}) / 6

,

β = c_{1} c_{2} c_{3} / 6

.

S'assumix que el polinomi en v, F(v)=0 posseïx tres raïls reals a fi d'assegurar que existixquen solucions reals i acotades. Si $F (v) = 0$ posseïx tres raïls reals distintes, les solucions són trens uniformes d'ones cridats ones cnoidales. Si $F (v) = 0$ té una doble raïl, per eixemple, $c_{1} = c_{2}$ , llavors les solucions d'ones cnoidales es reduïxen a ones solitàries, mentres que si $c_{2} = c_{3}$ , l'única possible solució és una constant $v = c_{3}$ .

Les solucions d'ones cnoidales es poden expressar en térmens de les funcions elíptiques de Jacobi com seguix:

$v = c_{2} + (c_{3} - c_{2}) {cn}^{2} [{(\frac{c_{3} - c_{1}}{12 μ})}^{1 / 2} [x - (c_{1} + c_{2} + c_{3}) t / 3], m]$
Símbol	Nom	Fòrmula
$m$	Mòdul de la funció elíptica	$m^{2} = \frac{c_{3} - c_{2}}{c_{3} - c_{1}}$
$m$	Mòdul de la funció elíptica	$1 \geq m \geq 0$

En el llímit en a on $c_{2} \to c_{1} (m \to 1)$ , esta última expressió per a $v$ es reduïx a una solució d'ona solitària

Escrivint $c_{1} \equiv v_{0}$ i $c_{3} - c_{1} \equiv a_{0}$ , obtenim

Açò mostra que la rapidea de l'ona, relativa a la velocitat constant $v_{0}$ , és proporcional a la seua amplitut. L'ample de l'ona solitària és inversamente proporcional a la raïl quadrada de la seua amplitut i, per lo tant, entre més amplitut posseïxca serà més angosta i viajarà més ràpit que les ones d'amplitut o altura més baixes.

El fet de que l'equació diferencial KdV siga de primer orde en el temps, significa que modela la propagació d'energia mecànica en una direcció, en el sentit de que totes les ones solitàries de la forma $v (x, t)$ es propagaran en la direcció de l'increment de la variable $x$ . En conseqüència, si dos ones solitàries es propaguen pel mateix mig i la que posseïx la major amplitut comença el seu moviment a l'esquerra de la segona, llavors en algun moment reglotarà a esta última.

Orige del terme solitón

En els anys 60 Norman Zabusky i Martin Kruskal varen demostrar, en càlculs numèrics, que una simple ona solitària és estable ya que pot viajar sense deformar la seua forma.També varen mostrar que quan dos ones solitàries estan ben separades al principi i la de major amplitut és colocada a l'esquerra de l'atra, ocorre que per posseir major amplitut i per lo tant major velocitat, reglota a la més llenta, interactuant no linealmente, i que quan este procés finalisa les seues posicions són intercanviades de tal forma que la de major amplitut està situada a la dreta de la de menor amplitut.

Llevat per l'intercanvi de les seues posicions, l'estructura de cada ona solitària és exactament la mateixa despuix de l'interacció no llineal tal com lo era abans d'iniciar la colisió. Aixina, una ona solitària és estable aun cuando és subjecta a interaccions no llineals. Esta remarcable estabilitat de les ones solitàries, en la que s'exhibix un comportament com d'una partícula en mecànica clàssica, va conduir a Zabusky i a Kruskal a falcar el terme solitón.

Vore també

Referències

Tota, Morikazu (1989). Nonlinear waves and solitons. Mathematics and its Applications (Japanese Séries). KTK Scientific Publishers, Tòquio.
P. G. Drazin and R. S. Johnson (1990). Solitons: an introduction. Cambridge University Press.
Thierry Dauxois i Michel Peyrard (2006). Physics of Solitons. ISBN 978-0-521-85421-4. Cambridge University Press.
D. J. Korteweg and F. de Vries, "On the Change of Form of Long Waves Advancing in a Rectangular Canal, and on a New Type of Long Stationary Waves." Philosophical Magazine, 39, 422—443, 1895.

Este artícul conté una traducció derivada de «Ecuación de Korteweg-de Vries» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.