Deconvolución

La deconvolución es referix a les operacions matemàtiques empleades en restauració de senyals per a recuperar senyes que han segut degradats per un procés físic que pot descriure's per mig de l'operació inversa a una convolución. Desenrollada per la necessitat de conéixer qué és lo que ocorre en un sistema, per volta primera es veu plasmada en l'anàlisis de mides sísmiques, i troba en l'actualitat una àmplia aplicació en molts atres camps, tals com el control automàtic, el filtrat digital de sistemes, els sistemes computacionals a prova de fallos, etc.

Aplicacions de la deconvolución

Control Automàtic

L'excitació que es brinda a un sistema, permetrà donar una resposta d'est en un interval de temps adjacent al de l'excitació, ya que sofrix un chicotet retardo, en ser processada i en la majoria dels casos, transformada d'acort a les operacions que el sistema requerixca fer. El procés per a conéixer cóm opera el sistema donada les senyals d'entrada i eixida, se li coneix, com deconvolución; descrit en molts casos com la funció de transferència.

Òptica

En dispositius òptics 2D (com els telescopis) o 3D (com els microscopis confocales de fluorescència) la convolución modeliza matemàticament el procés de formació d'una image que sofrix degradació per desenfoque i soroll. El desenfoque apareix inevitablement en el llímit de resolució del dispositiu per la difracció en les lents. El soroll és si més no soroll fotònic, un terme que es referix a les variacions de fluix inherents a les propietats estadístiques dels fotons. Pot haver atres sorolls superposts, pero est és inevitable, sobretot en els llímits de baixa intensitat.

La formació de l'image es pot descriure per mig de la convolución de la senyal original en la funció de dispersió de punt (PSF). Esta funció no és més que l'image d'un objecte lluminós puntual tal i com es registraria en el dispositiu que, si ben resulta difícil d'adquirir, es pot conseguir per mig de procediments de calibrat o calcular teòricament.

En sistemes incoherents com estos dispositius (en els que la llum de distintes fonts no genera interferències), el procés de formació de l'image és llineal, i es pot descriure per mig de teoria de sistemes llineals. Açò significa que quan les imàgens de dos objectes A i B es registren simultàneament, el resultat és equivalent a la suma de les seues imàgens registrades independentment. En atres paraules: l'image de no es veu afectada per la de B, i viceversa.

Per esta propietat de linealidad l'image de qualsevol objecte complex es pot "calcular" tallant l'objecte en parts menudes, registrant les seues imàgens independentment, i despuix sumant tots els resultats. Quan es dividix l'objecte en parts extremadament minúscules, en partícules puntuals de diferents intensitat, l'image es pot concebre com la suma de moltes PSF, cada una situada en la posició de cada partícula original i ajustada la seua intensitat d'acort en la del punt corresponent.

Resumint: la formació de l'image en un dispositiu òptic queda descrita per complet per mig del seu PSF.

Podem per lo tant imaginar que l'image es forma en el microscopi o en el telescopi reemplaçant cada font de llum puntual (o a lo manco de tamany menor que la resolució de l'aparat) pel seu PSF, multiplicada per l'intensitat corresponent. Este procés es descriu matemàticament en una equació de convolución:

$f*g=h$

a on l'image $h$ sorgix de la convolución de les fonts reals de llum $f$ (l'objecte) i la PSF $g$. L'operador de convolución $*$ implica una integral en tot l'espai:

$h(\overrightarrow{x})=(f*g)(\overrightarrow{x})=\int f(\overrightarrow{r})g(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{r})d^3\overrightarrow{r}$

Es pot interpretar esta equació com seguix: l'image registrada $h(\overrightarrow{x})$ es compon de vóxelés (en el cas general tridimensional) o de píxelés (en el cas 2D de l'image d'un telescopi) situats en diverses coordenades $\overrightarrow{x}=(x,y,z)$. L'intensitat registrada en cada vóxel es deu a les distintes contribucions de tots els punts lluminosos de l'objecte $f$, estant ponderades les seues intensitat per la PSF $g$ en funció de la distància al punt considerat. Quant més llunt estiga la font lluminosa, menor serà la seua contribució a l'intensitat registrada localment.

En la realitat la situació és alguna cosa més complexa: si tenim en conte el soroll, la formació de l'image s'expressa per mig de

$(f*g)+ϵ=h$

en a on $ϵ$ és el soroll que s'introduïx en l'image registrada.

Si la convolución implica reemplaçar cada font lluminosa puntual original pel seu corresponent PSF per a produir una image borrosa, el procés de restauració seguix el camí invers, recolectant tota la llum dispersa i posant-la en el seu lloc original de nou. Açò produïx una millor representació de l'objecte real, més clara als nostres ulls.

En térmens matemàtics, la deconvolución és simplement la resolució de l'equació de convolución anterior, a on conegudes l'image convolucionada $h$ i la PSF $g$, més un model físic del soroll $ϵ$, s'obtindria la distribució de llum original $f$. Pero la resolució d'esta equació pot ser un complex problema invers en la pràctica, per una dificultosa estimació de la PSF o a los efectos de el soroll. Per a això se solen amprar algoritmes iterativos, com el d'estimació de màxim verosimilitut en microscopía, o la deconvolución cega en astronomia, que successivament van millorant una estimació inicial de l'objecte real fins a alcançar cert criteri de calitat preestablit.

Vore també

• Convolución