Funció de transferència

Una funció de transferència és un model matemàtic que, a través d'un cocient, relaciona la resposta d'un sistema (modelada o senyal d'eixida) en una senyal d'entrada o excitació (també modelada). En la teoria de control, a sovint s'usen les funcions de transferència per a caracterisar les relacions d'entrada i eixida de components o de sistemes que es descriuen per mig d'equacions diferencials llineals i invariantes en el temps.

Definició

La podem definir formalment com lo següent:

La funció de transferència d'un sistema llineal i invariante en el temps (LTI) es definix com la transformada de Laplace de la resposta a l'impuls és dir, quan l'entrada és una Dirac delta en temps o, equivalentemente, com el cocient entre la transformada de Laplace de l'eixida i la transformada de Laplace de l'entrada, baix la suposició de que les condicions inicials són nules.

El pico format pels models de la senyal d'eixida respecte de la senyal d'entrada, permet trobar els zeros i els pols, respectivament. I que representen les raïls en les que cada u dels models del cocient s'iguala a zero. És dir, representa la regió frontera a la que no deu aplegar ya siga la resposta del sistema o l'excitació al mateix; ya que de lo contrari aplegarà ya siga a la regió nula o s'anirà a l'infinit, respectivament.

Considerant la temporalitat; és dir, que l'excitació al sistema tarda un temps en generar els seus efectes en el sistema en qüestió i que este tarda un atre temps en donar resposta. Esta condició és vista a través d'un procés de convolución, format per l'excitació d'entrada convolucionada en el sistema considerat, donant com a resultat, la resposta dins d'un interval de temps. Ara, en eixe sentit (el de la convolución), es té que observar que la funció de transferència està formada per la deconvolución entre la senyal d'entrada en el sistema. Donant com resultat la descripció externa de l'operació del sistema considerat. De manera que el procés de contar en la funció de transferència del sistema a través de la deconvolución, es conseguix de forma matricial o vectorial, considerant la pseudoinversa de la matriu o vector d'entrada multiplicat pel vector d'eixida, per a descriure el comportament del sistema dins d'un interval donat. Semblara un procés complicat, encara que solament baste vore que la convolución discreta és representada per un producte d'un vector o matriu fixa respecte d'una matriu o vector mòvil, o que en forma tradicional s'observa com una sumatoria.

Descripció matemàtica

Un dels primers matemàtics en descriure estos models va ser Laplace, a través de la seua transformació matemàtica.

Per definició una funció de transferència es pot determinar segons l'expressió:

$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$

a on H (s) és la funció de transferència (també notada com a G (s) ); I (s) és la transformada de Laplace de la resposta i X (s) és la transformada de Laplace de la senyal d'entrada.

La funció de transferència també pot considerar-se com la resposta d'un sistema inicialment inerte a un impuls com a senyal d'entrada:

$H(s)=ℒ\{h(t)\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}h(t)dt$

L'eixida o resposta en freqüència del sistema es troba llavors de

$Y(s)=H(s)X(s)$

i la resposta com a funció del temps es troba en la transformada de Laplace inversa de I(s):

$y(t)={ℒ}^{-1}[Y(s)]$

Qualsevol sistema físic (mecànic, elèctric, etc.) es pot traduir a una série de valors matemàtics a través dels quals es coneix el comportament d'estos sistemes front a valors concrets.

Per eixemple, en anàlisis de circuits elèctrics, la funció de transferència es representa com:

$H(s)=\frac{V_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}}{V_{\mathrm{i}\mathrm{n}}}$

Vore també

• Sistema LTI
• Curva de calibrat