Funció localment integrable

En matemàtiques, un funció localment integrable és una funció que és integrable en qualsevol conjunt acotat contingut en el seu domini de definició i que la seua adherencia està continguda també en dit domini. L'importància del concepte residix en el fet de que s'ignora el comportament de la funció en l'infinit, i s'atén només al seu comportament local.

Definició formal

Més formalment, siga $\Omega$ un conjunt obert del espai euclídeo ${ℝ}^n$ i siga $f:\Omega \to ℂ$ una funció mesurable en el sentit de Lebesgue. Si l'integral de Lebesgue:

és finita para tot conjunt acotat $B\subset \Omega$, en $\bar{B}\subseteq \Omega$, llavors $f$ és una funció localment integrable. El conjunt de totes les funcions localment integrable és un espai vectorial designat per:

Propietats

Teorema. Tota funció $f$ del espai $L^p(\Omega )$, $1\le p\le +\mathrm{\infty }$, a on $\Omega$ és un conjunt obert de ${ℝ}^n$ és localment integrable. Per a vore açò, basta considerar la funció característica ${\chi }_K$ d'un conjunt compacte$K$ de $\Omega$: llavors, per a $p\le +\mathrm{\infty }$

a on

• $q$ és un número positiu tal que $1/p+1/q=1$per a un p donat tal que $1\le p\le +\mathrm{\infty }$
• $\mu (K)$ és la mida de Lebesgue del conjunt compacte $K$

Llavors per la desigualtat de Hölder es té que:

I per tant:

Note's que posat que la següent desigualtat és certa:

l'afirmació se seguix també per a funcions $f$que pertanyen a l'espai $L^p(K)$ per a cada conjunt compacte $K$ de $\Omega$.

Referències

• Strichartz, Robert S. (2003). A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms (en anglés), World Scientific Publishers. ISBN 981-238-430-8.