Teorema integral de Cauchy

En matemàtiques, la teorema integral de Cauchy (també conegut com la teorema de Cauchy-Goursat) en l'anàlisis complex, és una declaració important sobre integrals de llínea per a les funcions holomórficas en el pla complex. Essencialment, diu que si dos trayectòries diferents conecten els mateixos dos punts, i una funció és holomorfa en tots els llocs entre les dos trayectòries, llavors les dos integrals de la trayectòria de la funció seran iguals. La teorema integral de Cauchy, descobert per Augustin Louis Cauchy en 1825, és part fonamental del càlcul integral de variable complexa.

Enunciat

La teorema es formula usualment per a camins tancats de la següent manera:

Sean $U$ un subconjunt obert de $C$ simplement conexo, $f:U\to C$ una funció holomorfa i $\gamma$ una trayectòria rectificable en $U$ el punt inicial de la qual és igual al seu punt final. Llavors:

${\oint }_{\gamma }f(z)dz=0.$

Una versió precisa (homologia) pot ser declarada utilisant números de devanado. El número de devanado d'una curva tancada al voltant d'un punt $a$ que no està en la curva és l'integral de $f(z)/(2\pi i)$, a on $f(z)=1/(z-a)$al voltant de la curva. És un número entero. Breument, l'integral de la trayectòria a lo llarc d'una Curva de Jordan d'una funció holomorfa en l'interior de la curva, és zero. En lloc d'un sol camí tancat podem considerar una combinació llineal de camins tancats, a on els escalares són sancers. Tal combinació es denomina cadena tancada, i es definix una integral a lo llarc de la cadena com una combinació llineal d'integrals sobre trayectes individuals. Una cadena tancada es denomina cicle en una regió si és homòloga a zero en la regió; És dir, el número de devanado, expressat per l'integral d'1/(z-a) sobre la cadena tancada, és zero per a cada punt 'a' no en la regió. Açò significa que la cadena tancada no enrolla al voltant de punts fòra de la regió. Llavors la teorema de Cauchy pot ser declarat com l'integral d'una funció holomorfa en un conjunt obert pres al voltant de qualsevol cicle en el conjunt obert és zero. Un eixemple és proporcionat per la regió en forma d'anell. Esta versió és crucial per a la derivació rigorosa de la Série de Laurent i la fòrmula de residus de Cauchy sense implicar cap noció física tal com corts travesseres o deformacions. La versió permet l'extensió del Teorema de Cauchy a les regions conexas multiplicades analíticament.

Extensió

Posteriorment, Edouard Goursat va demostrar que no era necessari considerar l'hipòtesis de que la derivada de $f$ fora contínua per a assegurar que el valor de l'integral siga zero. D'esta manera:

• La teorema seguix sent vàlit quan el contorn $C$ no és simplement conexo pero té un número finito de "forats".
• Siga $C$ un contorn simple tancat, i siguen $C_j$ per a $j=1,2,\dots ,n$ un número finito de contorns simples tancats dins de $C$, tals que les regions interiors a cada $C_j$ no tinguen punts en comú. Siga $R$ la regió tancada formada per tots els punts dins de $C$, llevat els punts interiors a cada $C_j$. Denotem per $F$ tota la frontera orientada de $R$ formada per $C$ i tots els contorns $C_j$, recorreguts en un sentit tal que els punts interiors de $R$ queden a l'esquerra de $F$ llavors, si f és analítica en tot $R$,

${\oint }_{F}f(z)dz=0$

A raïl d'este treball, actualment la teorema és coneguda com a teorema integral de Cauchy-Goursat.

Vore també

• Anàlisis complex
• Fòrmula integral de Cauchy