Índex (anàlisis complex)

Archiu:Winding Number Animation Small.gif

L'índex d'esta curva al voltant de p és dos. Un objecte que recórrega la curva roja efectuarà dos rotacions completes en sentit antihorario entorn a la persona situada en l'orige.

En matemàtica, el índex d'una curva tancada en el pla al voltant d'un punt que no es trobe en la curva, és un sancer que representa el número total de regressos que la curva descriu al voltant del punt.

Els regressos realisats en sentit antihorario conten com a positives, mentres que les realisades en sentit horari contabilisen com a negatives. Aixina, per eixemple, si un objecte que recórrega la curva descriu al voltant del punt quatre regressos en sentit antihorario i finalment una en sentit horari, direm que l'índex de la curva al voltant del punt p és tres. L'índex depén de l'orientació elegida de la curva, i canvia de signe en triar l'orientació oposta.

L'índex (winding number en anglés) és un objecte fonamental d'estudi en topología algebraica, i desenrolla un important paper en càlcul vectorial, anàlisis complex, topología geomètrica, geometria diferencial, i física.

Definició

Encara que intuitivamente l'índex d'una curva respecte a un punt és el número de regressos que dona la curva a eixe punt, la definició formal és la següent.

Siga $\gamma$ una curva tancada en el pla complex, i $z_0\in ℂ$ un punt del pla no contingut en l'image de la curva ${\gamma }^{*}$. Es definix l'índex de $\gamma$ respecte al punt $z_0$ com:

$Ind(\gamma ,z_0)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{1}{z-z_0}dz$

a on l'integració està presa en sentit antihorario.

Eixemples

Les següents imàgens mostren curves en índexs compresos entre −2 i 3:

$\cdots$	Archiu:Winding Number -2.svg	Archiu:Winding Number -1.svg	Archiu:Winding Number 0.svg
	−2	−1	0
	Archiu:Winding Number 1.svg	Archiu:Winding Number 2.svg	Archiu:Winding Number 3.svg	$\cdots$
	1	2	3

Bibliografia

Basic Complex Analysis. Jerrold E. Marsden and Michael Hoffman. W. H. Freeman, Third Edition, November 1998.