Derivació (matemàtica)

La derivació, matemàticament, és un concepte essencial per a determinar els espais sobre varietats diferenciables, les seues qualitats, les seues propietats i les seues conseqüències.

És una peça fonamental, clau en el desenroll de la teoria per a la geometria diferencial tal i com està estructurada actualment.

Definició de derivació

Siga $M_{}^{}$ una varietat diferenciable i $p\in M$, cridarem derivació en el punt $p_{}^{}$ a

$\mathrm{\forall }{\delta }_p:ℱ(M)⟶ℝ$ aplicació $ℝ-$llineal, és dir:

$\mathrm{\forall }f,g\in ℱ(M),\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ,$

• ${\delta }_p^{}(g+f)={\delta }_p(g)+{\delta }_p(f{)}^{},$

• ${\delta }_p^{}(\lambda f)=\lambda {\delta }_p(f{)}^{}.$

i tal que ${\delta }_p(f\cdot g)=$${\delta }_p(f)g_{|p}+f_{|p}{\delta }_p(g),$ $\mathrm{\forall }f,g\in ℱ(M)$, és dir, que complix la regla de Leibniz.

Observació

$ℱ(M)$ és el conjunt de funcions diferenciables en $M_{}^{}$, i és un $ℝ-$àlgebra conmutativa, (és un $ℝ-$espai vectorial).

$f_{|p}^{}$ és equivalent a $f(p{)}_{}^{}$, és dir, $f_{}^{}$ evaluat en el punt $p_{}^{}.$

Eixemples de derivació

La derivada parcial

Siga $M={ℝ}^n$ i $p\in M$, vejam que l'aplicació següent és derivació:

$\begin{array}{cccc}{\frac{\partial \cdot }{\partial x_i}}_{|p}:& ℱ(M)& ⟶& ℝ.\\ & f& \mapsto & {\frac{\partial f}{\partial x_i}}_{|p}\end{array}$

Demostració

Vejam primer que és $ℝ-$llineal, és dir, que $\mathrm{\forall }f,g\in ℱ(M)y\mathrm{\forall }\lambda \in ℝ$ veem que:

• ${\frac{\partial (f+g)}{\partial x_i}}_{|p}={\frac{\partial f}{\partial x_i}}_{|p}+{\frac{\partial g}{\partial x_i}}_{|p},$

• ${\frac{\partial (\lambda g)}{\partial x_i}}_{|p}=\lambda {\frac{\partial g}{\partial x_i}}_{|p}.$

Vejam finalment que és una derivació:

${\frac{\partial (f\cdot g)}{\partial x_i}}_{|p}={\frac{\partial f}{\partial x_i}}_{|p}{g}_{|p}+f_{|p}{\frac{\partial g}{\partial x_i}}_{|p}.$

Queda, aixina, demostrat que la derivada parcial és una derivació.

La derivada direccional

Siga $M={ℝ}^n,p\in Myv\in M:||v||=1$, d'igual modo que l'eixemple anterior es pot vore que l'aplicació següent és derivació:

$\begin{array}{cccc}{\frac{\partial \cdot }{\partial v}}_{|p}:& ℱ(M)& ⟶& ℝ\\ & f& \mapsto & {\frac{\partial f}{\partial v}}_{|p}\end{array}.$

Referències

Bibliografia

• Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferencialbles i varietats de Riemann, Ed:UB. 2003.