Gaveta (aritmètica)

i=x³, per a valors sancers que satisfan 1≤x≤25 en un sistema de coordenades cartesianas.

En aritmètica i àlgebra, la gaveta d'un número n és la tercera potencia —el resultat de multiplicar per sí mateixa tres voltes:

$n^3=n\cdot n\cdot n$

En geometria, és l'equació per a obtindre el volum d'un gaveta (hexaedro regular) d'aresta a:

$V=a\cdot a\cdot a=a^3$

Propietats

A diferència del quadrat d'un número, no existix el número gaveta més menuda, degut a que s'inclouen els números negatius. Per eixemple, (−4) × (−4) × (−4) = −64. Per a qualsevol n, (−n)³ = −(n³). No obstant, és possible en el cas dels número natural; la gaveta d'1 és la tercera potència més chicoteta en $N$.

A diferència dels quadrats perfectes, les gavetes perfectes no tenen una chicoteta cantitat de possibilitats llevat para els dos últims dígits, llevat para les gavetes divisibles per 5, a on únicament 25 i 75 poden ser els dos últims dígits; qualsevol parell de dígits en els últims dígits impars pot ser una gaveta perfecta. En les gavetes pares, hi ha una considerable restricció, solament per a 00, i2, p4, i6 i p8 pot ser que els dos últims dígits d'una gaveta perfecta (a on i significa qualsevol dígit impar i p per a dígits parellés). Alguns números cúbics són també números quadrats, per eixemple 64 és un quadrat (8 × 8) i al mateix temps una gaveta (4 × 4 × 4); açò ocorre si i solament si és una sexta potència perfecta. Cap eixa possibilitat si el expontente k és múltiple de 6, per a la duodècima, dècima octava potència, etc.

Un Gaveta de Rubik de 3x3x3 compost de 27 (26 exteriors més el situat en el centre) chicotetes gavetes.

No obstant, és fàcil vore que la majoria dels números no són gavetes perfectes a causa de que totes les gavetes perfectes deuen tindre una raïl digital 1, 8 o 9. D'esta forma, la raïl digital de qualsevol número queda determinada pel restant del número quan és dividit entre 3:

• Si el número és divisible entre 3, la seua gaveta té com a raïl digital al 9;
• Si té com a restant 1 quan és dividit entre 3, la seua gaveta té la raïl digital igual a 1;
• Si té com a restant 2 quan és dividit entre 3, la seua gaveta té com a raïl digital 8.

Cada sancer positiu pot ser escrit com la suma de nou gavetes o inclús menys, vore problema de Waring. Este llímit superior de nou gavetes no pot ser reduït ya que, per eixemple, 23 no pot ser escrit com la suma de menys de nou gavetes:

23 = 2³ + 2³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³

El número m és una gaveta perfecta si i solament si poden ordenar-se m punts en una gaveta, per eixemple 3 × 3 × 3 = 27. La suma dels primers n gavetes perfectes és un n-ésimo número triangular al quadrat:

$1^3+2^3+\mathrm{...}+n^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2$

Per eixemple, la suma dels primers cinc números gavetes perfectes, 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³, és igual a la suma dels cinc primers números triangulars 15² que és 225.

Atres característiques

• (mn)³ = m³n³
• Si m és múltiple de n: (m÷n) = m³ ÷ n³
• (m ± n)³ = m³ ± 3m²n +3mn² ± n³
• Si m > n, llavors m³ > n³ (funció creixent)
• Siga H = {n³/ n és n. natural}, H té mínim
• Si n > 1, llavors n³ > n² > n
• m³+n³ = (m²-mn+n²)(m+n)
• Hi ha una identitat anàloga per a la diferència de gavetes, basta en l'anterior, canviar n per -n

• Si al producte de tres térmens consecutius d'una progressió aritmètica, de terme inicial m i diferencia r, se li agrega kr², a on k és el terme intermig, s'obté una gaveta perfecta per a k, m i r sancers positius.
• El producte de tres térmens consecutius d'una progressió geomètrica és una gaveta perfecta.
• La mija geomètrica de tres números sempre existix sense importar el signe dels números.
• Si al producte de tres número natural consecutius se li agrega el terme intermig, s'obté la gaveta de l'intermig. Aixina 11×12×13 + 12 = 1 728 = 12³
• x³+i³+z³ ≥ 3xyz, a on x, i, z són número real positius; l'igualtat es verifica quan els 3 números són iguals.

En fòrmules geomètriques

• En el volum de l'esfera apareix la gaveta del radi o la gaveta del diàmetro.
• En el volum de la gaveta, de modo emblemàtic.
• En el volum del tetraedre regular, figura la gaveta de l'aresta.
• La gaveta del sen d'un arc comporta el sen de l'arc i el sen de l'arc triple.