Problema de Waring

El problema de Waring és un famós problema de teoria de números. Va ser propost per Edward Waring en 1779 en la seua obra Meditationes Algebraicae. Waring va enunciar, sense demostrar, que tot número natural pot expressar-se com sumixca de no més de quatre quadrats o 9 gavetes o 18 quartes potències...; en general, de s potencies k-ésimas positives. La conjectura va ser demostrada per primera volta en 1909 per David Hilbert coneixent-se actualment com la teorema de Hilbert-Waring.

El problema de Waring té la seua pròpia classificació en matemàtiques, "El problema de Waring i variants."

El número g(k)

Per a tot k, denotem g(k) el mínim número s de k potencies necessitades per a representar tots els sancers. Note que tenim que g(1) = 1. Per mig d'alguns càlculs veem que 7 requerix 4 quadrats, 23 requerix 9 gavetes, i 79 requerix 19 potències de quatre; estos eixemples mostren que g(2) ≥ 4, g(3) ≥ 9, i g(4) ≥ 19. La conjectura de Waring diuen que estos valors són els millors possibles.

El teorema dels quatre quadrats de Lagrange, donat en 1770, establix que tot número natural és la suma d'a lo manco 4 quadrats; daus que tres no són suficients, esta teorema establix que g(2) = 4. La teorema dels quatre quadrats de Lagrange va ser conjeturado en l'edició de Bachet del llibre Aritmètica de Diofanto en 1621; Fermat va obtindre una prova, pero no la va publicar

En els anys es varen obtindre varis comportaments asintòtics, usant sofisticades tècniques d'increment i tècniques complexes de prova. Per eixemple, Liouville va mostrar que g(4) és com a molt 53. Hardy i Littlewood varen mostrar que números suficientment grans són la suma d'a lo manco 19 potències de quatre.

g(3) = 9 va ser establit de 1909 a 1912 per Wieferich i A. J. Kempner, g(4) = 19 en 1986 per R. Balasubramanian, F. Dress, i J.-M. Deshouillers, g(5) = 37 en 1964 per Chen Jingrun, i g(6) = 73 en 1940 per Pillai.

Euler conjeturó que, en [x] i {x} denotant la part sancera i la part fraccionaria de x respectivament, g (k)=2^k+[(3/2)^k]-2. Despuix el treball de Dickson, Pillai, Rubugunday i Niven varen expandir esta idea, i ara, en una miqueta d'ambigüitat, tots els valors de g són coneguts:

g (k)=2^k+[(3/2)^k]-2   si   2^k{(3/2)^k}+[(3/2)^k]≤ 2^k

g (k)=2^k+[(3/2)^k]+[(4/3)^k]-2   si   2^k{(3/2)^k}+[(3/2)^k]>2^k   i   [(4/3)^k][(3/2)^k]+[(4/3)^k]+[(3/2)^k]=2^k

g (k)=2^k+[(3/2)^k]+[(4/3)^k]-3   si   2^k{(3/2)^k}+[(3/2)^k]>2^k   i   [(4/3)^k][(3/2)^k]+[(4/3)^k]+[(3/2)^k]>2^k.

(Este [(3/2)^k] és la forma curta i usual d'escriure "la part sancera de (3/2)^k", i {(3/2)^k} = (3/2)^k - [(3/2)^k].)

S'ha conjeturado que 2^k{(3/2)^k}+[(3/2)^k]>2^k, el qual s'ha mostrat per a alguns valors finitos de k per Mahler, de fet mai ocorre. Si la conjectura és certa, est intuïx que   g (k)=2^k+[(3/2)^k]-2   per a cada sancer positiu k. la conjectura s'ha verificat per a valors menuts de k. Els primers valors de la conjectura per als quals s'ha provat són 1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1.079, 2.132, 4.223, 8.384, 16.673, 33.203, 66.190, 132.055 ... són llistats en Sloane Plantilla:OEIS.

El número G(k)

Del treball d'Hardy i Littlewood, g(k) és convertit en G(k), el qual és definit com el menor sancer s tal que para tot sancer suficientment gran (tot sancer més gran que una constants) pot ser representat com les suma d'a lo manco s k^esimas potències de sancers positius. És fàcil mirar que G(2)≥ 4 ya que tot sancer congruent a 7 mòdul 8 no pot ser representat com sumixca de tres quadrats. Ya que G(k) ≤ g(k) para tot k, açò mostra que G(2) = 4. Davenport va mostrar que G(4) = 16 en 1939, demostrant que qualsevol número gran congruent a 1 o 14 mod 16 pot ser escrit com sumixca de 14 potències de quatre (Vaughan en 1985 va reduir el terme de 14 a 13). El valor exacte de G(k) és desconegut per a qualsevol k, pero per a estes existixen comportaments asintòtics.

Comportaments asintòtics per avall de G(k)

El número G(k) és més gran o igual a:

2^r+2 si k=2^r en r ≥ 2, o k=3·2^r;

p^r+1 si p és un cosí més gran que 2 i k=p^r(p-1);

(p^r+1-1)/2 si p és un cosí més gran que 2 k=p^r(p-1)/2;

k + 1 per a tots els sancers k més gran que 1.

En l'absència de restriccions de la congruència, l'argument de densitat de G (k) pot ser igual a k+1.

Comportaments asintòtics per dalt de G(k)

Els següents comportaments per dalt són coneguts (G(k) és menor que...):

k          3   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14   15   16   17   18   19   20
G(k) ≤     7  17  21  33  42  50  59  67  76  84  92  100  109  117  125  134  142

G(3) és a lo manco 4 (ya que les gavetes són congruents a 0, 1 o -1 mod 9); 1.290.740 és l'últim número menor que 1.3Plantilla:I i requerix sis gavetes, i el número entre N i 2N requerix 5 gavetes el qual decreix a mida que aumenta N fa creure que G(3)=4; el número més gran conegut com la suma de quatre gavetes és 7.373.170.279.850, i l'autor dona arguments raonables pel qual pot ser el més gran possible.

13.792 és el número més gran que requerix 17 potències de quatre (Deshouillers, Hennecart i Landreau varen mostrar en 2000 que qualsevol número entre 13793 i 10²⁴⁵ requerix a lo manco 16, i Kawada, Wooley i Deshouillers en 1939 varen estendre el resultat en mostrar que qualsevol número superior a 10²²⁰ no requerix més de 16). 16 potències de quatre són sempre necessitades per a escriure un número de la forma 31·16ⁿ.

617.597.724 és l'últim número menor que 1.3Plantilla:I el qual requerix 10 potències de quatre, i 51.033.617 l'últim número menor que 1.3Plantilla:I el qual requerix 11.

Utilisant el método del círcul de Hardy-Littlewood millorat, Iván Vinográdov va publicar numerosos refinament que varen dur a comprovar que

$G(k)\le k(3\log k+11).$

T. D. Wooley va establir el comportament asintòtic per avall, en notació O-Grandre,

$G(k)\le k\log k+k\log \log k+O(k).$ (Vore per a la prova.)

Vore també

• Problema de Waring-Goldbach

Referències

• Gardner, Martin (2008). «Els problemes de Waring», Rosquillas nugades, RBA.
• Yu. V. Linnik, "An elementary solution of the problem of Waring by Schnirelman's method". Mat. Sb., N. Ser. 12 (54), 225–230 (1943)