Número triangular

Archiu:Números triangulares.png

Es mostren els sis primers números triangulars, aixina com el seu terme general. Ademés de la denotació exposta, un número triangular pot indicar-se, posant entre paréntesis el costat del triàngul corresponent. Per eixemple, el 10 és el número triangular de costat 4, és dir, T(4)=10.

Un número triangular conta objectes disposts en un triàngul equilátero. El n-ésimo número triangular és el número de punts en la disposició triangular en n punts en un costat, i és igual a la suma dels n número natural d'1 a n, sent per convenció, l'1 el primer número triangular. Els números triangulars, junt en uns atres números figurats, varen ser objecte d'estudi per Pitágoras i els Pitagórico, els qui consideraven sagrat el 10 escrit en forma triangular, i al que cridaven Tetraktys.

Definició formal

Cada número triangular T_n està definit per la següent fòrmula:

$T_n=\frac{n(n+1)}{2}$

Teorema. La suma de T n i Tn-1 és un quadrat perfecte o, si es vol usar la terminologia pitagórico, un número quadrat.

Demostració

Sean:

$T_n=\frac{n(n+1)}{2}$

$T_{n-1}=\frac{(n-1)(n-1+1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$

sumant:

$T_n+T_{n-1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n-1)}{2}$

és dir:

$T_n+T_{n-1}=n^2$

quedant demostrat lo propost. Podem comprovar-ho en dos números triangulars consecutius qualssevol, per eixemple, en T₃ = 6 i T₄ = 10.

Efectivament,

$T_4+T_3=10+6=16=4^2$ En la figura 2 (avall, esquerra) es veu dit quadrat.

Suma de dos números triangulars iguals: número oblongo

Archiu:Números cuadrados y oblongos.png

En esta figura s'observa cóm del número triangular T₄ resulta el número oblongo de (5·4) punts.

La suma de dos números triangulars iguals nos dona un número oblongo, que conforma la figura d'un romboide. Vejam el seu terme general:

$T_n+T_n=2T_n=2\frac{n(n+1)}{2}$

$2T_n=n(n+1)$

que és l'expressió buscada.

Suma dels primers números triangulars

La suma dels n primers números triangulars és també coneguda com número tetraèdric, aixina l'enèsim número tetraèdric és la suma dels primers n números triangulars. La seua expressió és:

$S=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

Gauss i la seua teorema

En 1796, el matemàtic i científic alemà Carl Friedrich Gauss va descobrir que tot sancer positiu pot representar-se com la suma d'un màxim de tres números triangulars, fet que va descriure en el seu diari en la mateixa paraula que usara Arquímedes en el seu famós descobriment: "¡Eureka! num= Δ + Δ + Δ." Note's que esta teorema no implica que els números triangulars són diferents (com ocorre en el cas de 20 = 10 + 10), ni tampoc que deu haver una solució en tres números triangulars que siguen diferents de zero. Es tracta d'un cas especial del teorema de l'número poligonal de Fermat.

El número triangular més gran que pot representar-se en la fòrmula 2^k − 1 és 4095 (equació de Ramanujan–Nagell).

El matemàtic polac Wacław Sierpiński es va preguntar si hi hauria quatre números triangulars distints en la progressió geomètrica. El matemàtic chec Kazimierz Szymiczek infirió que este plantejament era fals. Els matemàtics chinencs Jin-Hui Fang i Yong-Gao Chen, professors del Departament de Matemàtiques de l'Universitat Normal de Nankín, República Popular de China, varen demostrar esta inferència en 2007.