Error d'aproximació

En blau, gràfica de la funció exponencial i^x. En roig, aproximació de primer orde de l'exponencial en x=0 per la recta i=1+x.

La incertitut o error numèric és una mida de l'ajust o càlcul d'una magnitut sobre el valor real o teòric que dita magnitut té. Un aspecte important dels errors d'aproximació és la seua estabilitat numèrica. Dita estabilitat es referix a cóm dins d'un algoritme d'anàlisis numèric l'error d'aproximació és propagat dins del propi algoritme.

El concepte d'error és consustancial en el càlcul numèric. En tots els problemes és fonamental fer un seguiment dels errors comesos a fi de poder estimar el grau d'aproximació de la solució que s'obté.

Tipos d'errors

Els errors associats a tot càlcul numèric tenen el seu orige en dos grans factors:

Inherents a la formulació del problema

$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{=}\mathrm{|}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{-}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{x}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{|}$

L'error absolut per definició sempre és positiu, ya que es pren el valor absolut de la diferència entre el valor real i el valor aproximat.

Pero la diferència entre el valor real i l'aproximat o medit ( que se sol cridar error real), pot ser positiu si l'error és per defecte, o negatiu si l'error és per excés.

$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{=}\frac{errorabsoluto}{valorreal}$

Si l'error absolut < ε, es diu que ε és una cota d'error absolut. Llavors la ε relativa és:

$\frac{\epsilon }{\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{l}}=\frac{\epsilon }{\text{valor de medición}}$

Una font d'este tipo d'errors té el seu orige en l'imprecisió de les senyes físiques: constants físiques i senyes empíriques. És el cas d'errors en la mida de les senyes empíriques i tenen un caràcter generalment aleatori, el seu tractament analític és imprescindible per a contrastar el resultat obtingut computacionalment.

Conseqüència del método amprat per a trobar la solució del problema

Pel que fa al segon tipo d'error (error computacional), tres són les seues fonts principals:

1. Equivocacions en la realisació de les operacions (errors de bulto). Esta font d'error és ben coneguda per qualsevol que haja realisat càlculs manualment o amprant una calculadora. L'ocupació de computadors ha reduït enormement la provabilitat de que este tipo d'errors es produïxquen. No obstant, no és despreciable la provabilitat de que el programador cometa un d'estos errors (calculant correctament el resultat erròneu). Més encara, la presència de bugs no detectats en el compilador o en el software del sistema no és inusual. Quan no resulta possible verificar que la solució calculada és raonablement correcta, la provabilitat de que s'haja comés un error de bulto no pot ser ignorada. No obstant, no és esta la font d'error que més nos va a preocupar.

2. L'error causat per resoldre el problema no com s'ha formulat, sino per mig d'algun tipo d'aproximació. Generalment està causat per la substitució d'un infinit (sumatorio o integració) o un infinitesimal (diferenciació) per una aproximació finita. Alguns eixemples són:

• El càlcul d'una funció elemental (per eixemple, sen x) amprant només n térmens dels infinits que constituïxen l'expansió en série de Taylor.
• Aproximació de l'integral d'una funció per una suma finita dels valors de la funció, com l'empleada en la regla del trapezi.
• Resolució d'una equació diferencial reemplaçant les derivades per una aproximació (diferències finitas).
• Solució de l'equació f(x) = 0 pel método de Newton-Raphson: procés iterativo que, en general, convergix només quan el número de iteraciones tendix a infinit.

Denominarem a este error, en totes les seues formes, com a error per truncació, ya que resulta de truncar un procés infinit per a obtindre un procés finito. Òbviament, estem interessats en estimar, o a lo manco acotar, este error en qualsevol procediment numèric.

3. Per últim, l'atra font d'error d'importància és aquella que té el seu orige en el fet de que els càlculs aritmètics no poden realisar-se en precisió illimitada. Molts números requerixen infinits decimals per a ser representats correctament, no obstant, per a operar en ells és necessari redonejar-los. Inclús en el cas en que un número puga representar-se exactament, algunes operacions aritmètiques poden donar lloc a l'aparició d'errors (les divisions poden produir números que deuen ser redonejats i les multiplicacions donar lloc a més dígits dels que es poden almagasenar). L'error que s'introduïx en redonejar un número es denomina error de grosseig.

Experiments físics i errors d'aproximació

Les mides de les diferents magnituts físiques que intervenen en una experiència donada, ya s'hagen obtingut de forma directa o a través de la seua relació per mig d'una fòrmula en atres magnituts directament, mai poden ser exactes. Per la precisió llimitada que tot instrument de mida posseïx, aixina com d'atres factors externs, es deu acceptar el fet de que no és possible conéixer el valor exacte d'una magnitut, sempre hi haurà un error, per molt mínim que siga. Per lo tant, qualsevol resultat numèric obtingut experimentalment deu presentar-se sempre acompanyat d'un número que indique quant pot alluntar-se dit resultat al valor exacte. Açò és un marge o ranc d'error.