Regla del trapezi

La funció f(x) (en blava) és aproximada per la funció llineal (en roig).

En anàlisis numèric la regla del trapezi és un método d' integració, és dir, un método per a calcular aproximadament el valor d'una integral definida. La regla es basa en aproximar el valor de l'integral de $f(x)$ pel de la funció llineal, que passa a través dels punts $(a,f(a))$ i $(b,f(b))$. L'integral d'esta és aproximadament igual al àrea del trapezi baixe la gràfica de la funció llineal.

Regla del trapezi Simple

Per a realisar l'aproximació per esta regla és necessari usar un polinomi de primer orde, i esta és representada per:

$P_1(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$

Llavors en substituir en l'integral tenim lo següent:

$\begin{array}{cc}I& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \underset{a}{\overset{b}{\int }}{P}_1(x)dx\\ & \approx \underset{a}{\overset{b}{\int }}[f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)]dx\end{array}$

Per últim en resoldre eixa integral nos queda:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx (b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}$

Càlcul de l'error

El terme d'error correspon a:

$E_t=-\frac{1}{12}{f}^{″}(\xi )(b-a{)}^3$

Sent $\xi$ un número pertanyent al interval $[a,b]$.

Regla del trapezi composta

Ilustració de la regla del trapezi composta

La regla del trapezi composta o regla dels trapezis és una forma d'aproximar una integral definida utilisant n trapezis. En la formulació d'este método se supon que $f$ és contínua i positiva en l'interval $[a,b]$. De tal modo l'integral definida $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ representa l'àrea de la regió delimitada per la gràfica de $f$ i l'eix $Ox$, des de $x=a$ fins a $x=b$. Primer es dividix l'interval $[a,b]$ en $n$ subintervalos, cada u d'ample $\Delta x=(b-a)/n$.

Despuix de realisar tot el procés matemàtic s'aplega a la següent fòrmula:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\sim \frac{h}{2}[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\mathrm{...}+f(b)]$

A on $h=\frac{b-a}{n}$ i $n$ és el número de divisions.

L'expressió anterior també es pot escriure com:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\sim \frac{b-a}{n}[\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum _{k=1}^{n-1}f(a+k\frac{b-a}{n})]$

L'error en esta aproximació es correspon en :

$-\frac{(b-a{)}^3}{12n^2}{f}^{″}(\xi )$

Sent n el número de subintervalos

Eixemple

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}3xdx$ per a $n=6$

Primer s'obté $h$, i despuix esta, dels llímits de l'integral que representen $a$ i $b$ i per a $n=6$ queda: $h=\frac{b-a}{n}$ $=\frac{2-0}{6}=\frac{1}{3}$.

I ara se substituïx en la fòrmula

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ = $\frac{h}{2}[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\mathrm{...}+f(b)]$

i queda:

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}3xdx$ = $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}[3(0)+2[3(0+1\cdot \frac{1}{3})]+2[3(0+2\cdot \frac{1}{3})]+2[3(0+3\cdot \frac{1}{3})]+2[3(0+4\cdot \frac{1}{3})]+2[3(0+5\cdot \frac{1}{3})]+3(2)]=6$.

En este cas no es comet cap error en el càlcul (el resultat és exacte) perque la funció subjecta a integració és llineal.

Vore també

• Regla de Simpson
• Fòrmules de Newton–Cotes

Referències

• Hostetler Edwards, Larson: Càlcul I (Octava edició)
• 15px|link=|alt= Wikisource contiene obras originales sobre la Generalisació de la fòrmula de Simpson. (La regla dels trapezis com a cas particular de la generalisació de la regla de Simpson)