Anar al contingut

Taules trigonométricas

De L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià
Una pàgina d'un llibre de taules matemàtiques de l'astrònom alemà Matthias Bernegger de 1619. Com era costum llavors, els valors de les funcions trigonométricas s'expressen en el text com a número entero de fins a 8 dígits.

En matemàtiques, les taules de funcions trigonométricas són útils en vàries àrees. Abans de l'existència de les calculadores de bojaca, les taules trigonométricas eren essencials per a la navegació, la ciència i l'ingenieria.[1] El càlcul de les taules matemàtiques va ser un àrea d'estudi important, que va conduir al desenroll dels primers dispositius de computació mecànica.[2]

En este artícul es descriuen resumidamente les tècniques de programació i els algoritmes informàtics que permeten calcular els valors de funcions trigonométricas de gran precisió que requerixen alguns càlculs matemàtics. Per a les tradicionals taules impreses en paper, vore l'artícul Taula matemàtica.

Introducció

[editar | editar còdic]

Les computadores modernes i les calculadores de bojaca ara generen valors de funcions trigonométricas de forma immediata, utilisant biblioteques especials de còdic matemàtic. A sovint, estes biblioteques usen taules precalculadas internament i obtenen el valor requerit per mig de l'us d'un método d'interpolació apropiat. L'interpolació de taules de busca simples de funcions trigonométricas encara s'usa en gràfics de computadora, a on solament es requerix una precisió modesta i la velocitat a sovint és primordial.[3]


Una atra aplicació important de les taules trigonométricas i dels esquemes de generació és per als algoritmes de la transformada ràpida de Fourier (TRF),[4] a on els mateixos valors d'una funció trigonométrica (els cridats factors twiddle)[5] deuen evaluar-se moltes voltes en una transformació donada, especialment en el cas comú a on es calculen moltes transformacions del mateix tamany. En este cas, cridar a rutines genèriques de la biblioteca cada volta és inacceptablement llent. Una opció és cridar a les rutines de la biblioteca una volta, per a construir una taula dels valors trigonométricos que es necessitaran, pero açò requerix una memòria considerable per a almagasenar la taula. L'atra possibilitat, ya que es requerix una seqüència regular de valors, és usar una fòrmula de recurrencia per a calcular els valors trigonométricos sobre la marcha. S'han dedicat importants investigacions per a trobar esquemes de recurrencia precisos i estables per a preservar la precisió de la FFT (que és molt sensible als errors trigonométricos).

Càlcul a demanda

[editar | editar còdic]

Les computadores i calculadores modernes utilisen una distintes tècniques per a obtindre valors de funcions trigonométricas a demanda per a ànguls arbitraris (Kantabutra, 1996). Un método comú, especialment en processadors de gama alta en unitats de menge flotant, és combinar una aproximació polinòmica o racional (com l'aproximació de Chebyshev,[6] la millor aproximació uniforme i l'aproximació de Padé, i típicament per a precisió més altes o variables, series de Taylor i Laurent) en reducció de ranc i busca de taula, que primer busquen l'àngul més propenc en una taula chicoteta i després usen el polinomi per a calcular la correcció. No obstant, mantindre la precisió mentres es realisa dita interpolació no és trivial; i métodos com les taules precises de Gal,[7] la reducció de Cody i Waite, i els algoritmes de reducció de Payne i Hanek es poden usar per a este propòsit. En els dispositius més simples, que carixen d'un coprocessador multiplicador, existix un algoritme cridat CORDIC[8] (aixina com tècniques relacionades) que és més eficient, ya que solament utilisa canvis i adició. Tots estos métodos comunament s'instalen en el hardware per raons de rendiment.

El polinomi particular utilisat per a aproximar una funció trigonométrica es genera en anticipació utilisant alguna simulació d'un algoritme d'aproximació minimax.

Per a càlculs de molt alta precisió, quan la convergència d'expansió en série es torna massa llenta, les funcions trigonométricas poden ser aproximades per la mija aritmètic-geomètrica, que a la seua volta s'aproxima a la funció trigonométrica per una integral elíptica (complexa) (Brent, 1976).[9]


Les funcions trigonométricas d'ànguls que són múltiples racionals de 2π són número algebraico. Els valors para a/b·2π es poden trobar per mig de l'aplicació de la fòrmula de De Moivre[10] per a n = des de a fins a una bésima raïl de l'unitat, que també és una raïl del polinomi xb-1 en el pla complex. Per eixemple, el coseno i el sen de 2π⋅5/37 són les partixes real i imaginària, respectivament, de la quinta potència de la raïl 37 de l'unitat cos (2π/37) + sen (2π/37)i, que és una raïl del polinomi de grau 37 x37−1. Per a este cas, un algoritme de busca de raïls, com el método de Newton, és molt més simple que els algoritmes aritmètic-geomètrics mijos anteriors, mentres convergixen a una taxa asintòtica similar. No obstant, estos últims algoritmes són necessaris per a les constants trigonométricas trascendentes.

Vore també

[editar | editar còdic]

Referències

[editar | editar còdic]
  1. ↑ Miquel Grau Sánchez, Miquel Noguera Batlle (2001). Càlcul numèric, Univ. Politèc. de Catalunya, pp. 13 de 360. ISBN 9788483014554.
  2. ↑ (1995) Sociologia de la ciència i la tecnologia, Editorial CSIC - CSIC Press, pp. 356 de 468. ISBN 9788400074630.
  3. ↑ (2010) VLSI, BoD – Books on Demand, pp. 199 de 466. ISBN 9789533070490.
  4. ↑ Samuel Kotz (2005). Encyclopedia of Statistical Sciences, Volum 5, Wiley, pp. 724. ISBN 9780471743781.
  5. ↑ (2007) Embedded Computer Systems: Architectures, Modeling, and Simulation: 7th International Workshop, SAMOS 2007, Samos, Greece, July 16-19, 2007, Proceedings, Springer, pp. 65 de 470. ISBN 9783540736257.
  6. ↑ (2007).«Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing».Cambridge University Press.
  7. ↑ Gal, Shmuel (1986). «Computing elementary functions: A new approach for achieving high accuracy and good performance», Miranker (ed.). Accurate Scientific Computations, 1 edició, Proceedings of Computations, Symposium, Bad Neuenahr, Federal Republic of Germany, March 12-14, 1985: Springer-Verlag Berlin Heidelberg, p. 1–16. ISBN 978-3-540-16798-3.
  8. ↑ Ashutosh Gupta (2010). Cordic Implementation of Sine-Cosine Functions, Lambert Academic Publishing, pp. 72. ISBN 9783838398853.
  9. ↑ J.L. Berggren, Jonathan Borwein, Peter Borwein (2013). Pi: A Source Book, Springer Science & Business Media, pp. 553 de 716. ISBN 9781475727364.
  10. ↑ Evguenii Kurmyshev (2003). Fonaments De Metodos Matematicos Per a Fisica I Ingenieria / Basis of Mathematic Methods for Physic and Engineering, Editorial Limusa, pp. 65 de 300. ISBN 9789681863661.

Bibliografia

[editar | editar còdic]
  • Carl B. Boyer (1991) A History of Mathematics, 2nd edition, John Wiley & Sons.
  • Manfred Tasche and Hansmartin Zeuner (2002) "Improved roundoff error analysis for precomputed twiddle factors", Journal for Computational Analysis and Applications 4(1): 1–18.
  • James C. Schatzman (1996) "Accuracy of the discrete Fourier transform and the fast Fourier transform", SIAM Journal on Scientific Computing 17(5): 1150–1166.
  • Vitit Kantabutra (1996) "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," IEEE Transactions on Computers 45(3): 328–339 .
  • R. P. Brent (1976) "Fast Multiple-Precision Evaluation of Elementary Functions", Journal of the Association for Computing Machinery 23: 242–251.
  • Singleton, Richard C. (1967) "On computing the fast Fourier transform", Communications of the ACM 10: 647–654.
  • Gal, Shmuel and Bachelis, Boris (1991) "An accurate elementary mathematical library for the IEEE floating point standard", ACM Transactions on Mathematical Software.


Referències

[editar | editar còdic]


Obtingut de «https://www.lenciclopedia.org/w/index.php?title=Taules_trigonométricas&oldid=853480»