Interpolació

En el subcampo matemàtic del anàlisis numèric, es denomina interpolació a obtenció de nous punts partint del coneiximent d'un conjunt de punts.

En ingenieria i algunes cièncias és freqüent dispondre d'un cert número de punts obtinguts per mostreig o a partir d'un experiment i pretendre construir una funció que els ajust.

Un atre problema estretament lligat en el de l'interpolació és l'aproximació d'una funció complicada per una més simple. Si tenim una funció el càlcul de la qual resulta costós, podem partir d'un cert número dels seus valors i interpolar dits senyes construint una funció més simple. En general no obtindrem els mateixos valors evaluant la funció obtinguda que si evaluem la funció original, si ben depenent de les característiques del problema i del método d'interpolació usat, el guany en eficiència pot compensar l'error comés.

En tot cas, es tracta de, a partir de $n$ parelles de punts $(x_k,y_k)$, obtindre una funció $f$ que verifique

$f(x_k)=y_k\text{ , }k=1,\dots ,n$

a la que es denomina funció interpolante de dits punts. Als punts $x_k$ se'ls crida nodos. l'interpolació polinòmica és la més bàsica dels algoritmes d'interpolació i inclou algunes de les formes d'interpolació més utilisades: l'interpolació llineal, l'interpolació per mig de spline o l'interpolació polinòmica de Hermite.

Interpolació llineal

La llínea blava representa l'interpolació llineal entre els punts rojos.

Artícul principal → Interpolació llineal.

l'interpolació llineal és una de les formes d'interpolació més senzilles. En general, en l'interpolació llineal s'utilisen dos punts, $(x_a,y_a)$ i $(x_b,y_b)$, per a obtindre un valor $y$ en un punt arbitrari $x$ (ubicat entre $x_a$ i $x_b$) a partir de la següent fòrmula:

$y=y_a+(x-x_a)\frac{(y_b-y_a)}{(x_b-x_a)}$

L'interpolació llineal és ràpida i senzilla, pero en certs casos no molt precisa.

Bibliografia

• R.L. Burden, J.D. Fairen, A.M. Burden, Anàlisis Numèric (10ª ed.), Cengage Learning, 2017.
• A. Ralston, P. Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis (2nd ed.), Dover Publications, 2001.
• J. Stoer, R. Burlisch, Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), Springer, 1992.

Vore també

• Extrapolació (matemàtica)

Interpolació