Catenària

Per a el sistema d'electrificació d'alta potència dels ferrocarrils vore Catenària (ferrocarril).

Una catenària és una curva ideal que representa físicament la curva generada per una cadena, cuerdo o cable sense rigidea flexional, suspesa dels seus dos extrems i somesa a un camp gravitatorio uniforme. Esta paraula prové del llatí catēnarĭus (‘propi de la cadena’). l'evoluta d'una tractriz és una catenària.

Història

La problemàtica de la catenària, plantejada durant el XVII, consistia en determinar la forma que adoptava una cadena o cuerdo (sense rigidea flexional) dins d'un camp gravitatorio uniforme. És dir, quan sobre un segment de corda actuava el propi pes de la corda verticalment i era sostingut simultàneament per les tensions en els seus extrems, en direccions tangentes a un segment de curva en els seus extrems. Els primers físics i matemàtics que varen abordar el problema varen supondre que la curva era una paràbola, perque empíricamente la forma de la corda s'assembla molt a una paràbola, especialment si es consideren llongituts chicotetes de corda. Pero va ser Christiaan Huygens, als 17 anys, qui va demostrar que la curva no era realment una paràbola, sino només una curva pareguda, encara que no va trobar l'equació de la catenària.

L'equació va ser obtinguda per Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens i Johann Bernoulli en 1691, en resposta al desafiu plantejat per Jakob Bernoulli. Huygens va ser el primer en utilisar el terme catenària en una carta dirigida a Leibniz en 1690 i David Gregory va escriure, eixe mateix any, un tractat sobre la curva.^[1]

Enfocament matemàtic

La condició d'equilibri d'un cable somés al seu propi pes vertical du a un problema d'equilibri en el pla (la catenària és sempre una curva plana si es pot despreciar la rigidea flexional del cable). De la condició d'equilibri local de cada punt es desprén la següent equació diferencial per a la pendent de la catenària, que relaciona les tensions en els extrems d'un tram i el pes del mateix (vore deducció de la catenària):

A on:

λ

és el pes per unitat de llongitut, que se supon constant.

T_{H}

la tensió horisontal que apareixerà en els extrems del cable.

La solució general ve donada per:

Tres catenàries diferents a través els mateixos punts, depenent de la força horisontal $T_{H}$ = $a λ$ , a on $λ$ és la massa per unitat de llongitut.

La solució de l'equació anterior per a un cable suspés de dos punts a la mateixa altura i el punt mínim de la qual és el punt (0,a) resulta ser:

$T_{H}$ és la component horisontal de la tensió, que és constant, $λ$ és la massa per unitat de llongitut del fil i $\cosh (\cdot)$ és la funció coseno hiperbòlic. Si es desenrolla en series de Taylor l'equació de la catenària (2) s'obté una curva propenca a una paràbola:

Açò correspon a l'equació d'una paràbola més un terme de quart orde. Per este motiu abdós gràfiques són tan semblades en l'entorn de zero.

Relacions importants

En el cas d'un cable suspés de dos punts a la mateixa altura, la llongitut de l'arc, en l'orige d'arc en el mínim és:

l = a \sinh (\frac{x}{a})

L'inclinament (açò és, la tangente de dita inclinament) és:

z = \frac{d y}{d x} = \sinh (\frac{x}{a})

Per tant, la tensió vertical és:

T_{y} = T_{H} \sinh (\frac{x}{a})

La tensió total del fil és

T = \sqrt{T_{H}^{2} + T_{y}^{2}} = T_{H} \cosh (\frac{x}{a})

en lo que substituint $T_{H} = a λ$ , es té

T = λ y

Deducció de l'equació de la catenària

L'equació diferencial (1) pot deduir-se aplicant l'equilibri de forces a una porció infinitesimal de catenària. Aplicant l'equilibri de forces a les forces horisontals i verticals es té que:

A on:

α

és l'àngul format per la catenària i l'horisontal.

T (x)

és la tensió total del cable per a cada punt.

w

és el pes per unitat de llongitut.

La primera de les equacions implica que $T \cos α = T_{H} = cte$ mentres que la segona d'elles pot escriure's triant adequadament l'orige de la llongitut d'arc com:

Introduint la relació entre la tangente de l'àngul de la pendent i la llongitut d'arc:

Derivant l'última relació s'obté precisament (1).

Vore també

Referències

↑ John D. Barrow (2009). El bot del tigre: Les matemàtiques de la vida quotidiana, Grupo Planeta (GBS), pp. 42 de 368. ISBN 9788498920161.

Enllaços externs

La curva catenària
Índex de curves famoses (en anglés)

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Catenaria» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[JDB-1] John D. Barrow (2009). El bot del tigre: Les matemàtiques de la vida quotidiana, Grupo Planeta (GBS), pp. 42 de 368. ISBN 9788498920161.

[1]