Evoluta

Es diu evoluta d'una curva "C" donada, al lloc geomètric dels centres de curvatura de "C".

Archiu:Evolute of an ellipse.gif

Una elipse (en blava) i la seua evoluta (verda). El círcul que es mou és el círcul osculador a la elipse, el centre de la qual és el centre de curvatura. També es pot observar que la recta tangente a la evoluta és normal a la elipse, és dir, la evoluta és l'envolvente de les normals a la elipse. La evoluta d'una elipse es diu astroide.

Equacions

Siga la curva formada pel conjunt de punts (x,i) a on x i i són funcions depenents d'una variable, normalment cridada t per a fer referència al temps. Llavors es pot escriure les coordenades de la evoluta de la forma

$(X,Y)=\left(x-y^{\prime }\frac{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}{x^{\prime }{y}^{″}-x^{″}{y}^{\prime }},y+x^{\prime }\frac{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}{x^{\prime }{y}^{″}-x^{″}{y}^{\prime }}\right).$

a on a cada (x,i) - o lo que és lo mateix, a un valor de t que determina un punt de la curva - li correspon un centre de curvatura (X,I) en funció d'eixe t. La relació entre eixe punt i el seu centre de curvatura permet conéixer el radi de curvatura (i per tant la seua inversa, la curvatura):
$R=1/k=\frac{(x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2{)}^{3/2}}{x^{\prime }{y}^{″}-x^{″}{y}^{\prime }},$

Si i=f(x), és dir, una variable depén de l'atra, es pot simplificar observant els resultats de prendre x=t i i=f(t). Els centres de curvatura seran llavors:
$\begin{array}{cc}{x}_C=& x-\frac{y^{\prime }(1+y{\text{'}}^2)}{y^{″}}\\ y_C=& y+\frac{1+y{\text{'}}^2}{y^{″}}\end{array}\}$ i el radi $R=1/k=\frac{(1+y{\text{'}}^2{)}^{3/2}}{y^{″}}$

Eliminant x i i entre elles es té l'equació de la evoluta:

$F(x_C,y_C)=0$

Eixemples de evolutas

Archiu:Evoluta1.PNG

Evoluta de la elipse en a=1 i b=2.

Evoluta de la elipse (astroide)

Donada l'elipse:

$\begin{array}{cc}x=& a\cos t\\ y=& b\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}t\end{array}\}$

El seu evoluta ve donada per:

$\begin{array}{cc}x=& \frac{a^2-b^2}{a}{\cos }^{3}t\\ y=& \frac{b^2-a^2}{b}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}}^{3}t\end{array}\}$ que, eliminant el paràmetro, queda: $(ax{)}^{\frac{2}{3}}+(by{)}^{\frac{2}{3}}=(a^2-b^2{)}^{\frac{2}{3}}$

Galeria d'imàgens

• La evoluta d'una circumferència és un punt.
  La evoluta d'una circumferència és un punt.
• La evoluta d'una elipse és una astroide allargada.
  La evoluta d'una elipse és una astroide allargada.
• La evoluta d'una espiral logarítmica és una atra espiral logarítmica en el mateix centre i àngul.
  La evoluta d'una espiral logarítmica és una atra espiral logarítmica en el mateix centre i àngul.
• La evoluta d'una paràbola és una paràbola semicúbica.
  La evoluta d'una paràbola és una paràbola semicúbica.
• La evoluta de f(x)=x3
  La evoluta de $f(x)=x^3$
• La evoluta de f(x)=x4
  La evoluta de $f(x)=x^4$