Teoria de camp de gauge

Cromodinámica quàntica com a teoria gauge, basada en el grup SU(3). Cada tipo de quark (o o d en l'image) posseïx tres «còpies» de distint «color». Els gluones actuen com bosón intermediari entre partícules en color (com un fotó entre partícules en càrrega elèctrica).

En física, una teoria de camp gauge (o teoria de gauge, teoria de recalibración o teoria de calibres) és un tipo de teoria quàntica de camps que es basa en el fet de que, l'interacció entre fermiones, pot ser vista com el resultat d'introduir certes transformacions "locals" pertanyents al grup de simetria interna en el que es base la teoria gauge. Aixina, els camps de gauge apareixen com efectes físics de la descompensación de recalibración en diferents punts del espai. El fet de que la conexió de gauge varie localment d'un punt a un atre del espai, és percebuda com la presència d'un camp físic.

Les teories de gauge es discutixen generalment en el llenguage matemàtic de la geometria diferencial, i involucren l'us de transformacions de gauge (vore simetria de gauge). Una transformació de gauge és una transformació d'algun grau de llibertat intern, que no modifica cap propietat observable física. Usualment, un camp gauge es modeliza com un camp de Yang-Mills, associat a les transformacions de gauge que formen un grup de gauge compacte (vore Grup de gauge). La teoria resultant proporciona un conjunt d'equacions que descriu l'interacció física entre diferents camps fermiónicos sensibles a l'interacció en el camp de Yang-Mills. Per eixemple, el camp electromagnètic és un camp de gauge (vore fibrado vectorial, camp vectorial, i fibrado principal), que descriu el modo d'interactuar de fermiones dotats en càrrega elèctrica, i en el que el camp de gauge associat són transformacions gauge que involucren un canvi de fase, que colectivament poden ser representades pel grup de gauge O(1).

Introducció

En física, les teories més extensament acceptades del modele estàndar són teories de camp de gauge. Açò significa que els camps en el modele estàndar exhibixen alguna simetria interna abstracta coneguda com a invariancia de gauge (vore simetria de gauge).

Les teories gauge provenen de l'aproximació geomètrica a la teoria de la relativitat general realisada per Weyl, i posteriorment ampliada per este mateix en un intent d'unificar la relativitat general en l'electromagnetisme, i finalment en la recentment sorgida, en aquell llavors, mecànica quàntica. Per a açò últim Weyl va tindre que amprar lo que en un principi es va denominar Eichinvarianz (en alemà) o gauge invariance (en anglés),utilisant dit principi les equacions 5 i 9 de Fock (que estenia la coneguda llibertat d'elegir els potencials electromagnètics en l'electrodinàmica clàssica, fins a la mecànica quàntica de partícules carregades que interactuen en camps electromagnètics) resultant que la invariancia d'una teoria baix transformacions combinades com (1,a,b,c) començara a conéixer-se com a invariancia de gauge o simetria de gauge, sent una pedra angular en la creació de teories modernes de gauge(vore teories de camp quàntic, i camp de Yang-Mills, per a vore eixemples).

La proliferació de les teories de gauge modernes i l'aplicació de la invarianza de gauge actual a l'estudi de la física teòrica o fonamental, es deu al treball publicat en 1954 per Chen-Ning Yang i Robert L. Millspese a que el primer treball en realisar dita aplicació s'atribuïx o troba en una publicació anterior, de Klein (1938), referit en la bibliografia com "profètic", pese a rebre tan poca atenció, inclús per part del seu propi autori la major part dels autors presents en la presentació de la teoria de Klein (1938) que estaven prenent els treballs presentats en aquell acte en cert aire d'incredulitat.

La invariancia gauge significa que, el lagrangiano que descriu el camp, és invariante baix l'acció d'un grup de Lie que s'aplica sobre les components dels camps. Quan s'aplica la mateixa transformació a tots els punts del espai, es diu que la teoria té invariancia gauge global. Les teories de gauge usen lagrangianos, tals que, en cada punt del espai és possible aplicar transformacions o "rotacions" llaugerament diferents i aixina i tot, el lagrangiano es mantindria invariante. En eixe cas es diu que el lagrangiano presenta també invariancia de gauge local, és dir, un lagrangiano en simetria gauge local permet triar certs graus de llibertat interns d'una manera en una regió del espai, i d'una atra en una atra regió del espai suficientment alluntada, sense afectar no obstant a la primera regió. La possibilitat de que un lagrangiano admeta esta transformació més general pot ser vist com una versió generalisada del principi d'equivalència de la teoria de la relativitat general.

Des del punt de vista físic, els camps de gauge es manifesten físicament en forma de partícules bosónicas sense massa (bosones gauge), per lo que es diu que tots els camps de gauge són mediats pel grup de bosones de gauge sense massa de la teoria.

Formulació matemàtica

Per a formular una teoria de camp gauge és necessari que la dinàmica dels camps fermiónicos de la teoria venja descrita per un lagrangiano que tinga alguna simetria interna "local" donada per un grup de Lie, cridat grup de transformacions de gauge. Aixina que, a el "rotar" alguna cosa en certa regió, no es determina cóm els objectes rotan en atres regions (s'usa el terme "rotar" perque els grups de gauge més freqüents són SU(2) i SU(3) que són generalisacions del grup de rotacions ordinàries). Físicament una transformació de gauge és una transformació d'algun grau de llibertat que no modifica cap propietat física observable. Les dos característiques formals que fan d'un camp un camp gauge són:

1. Els camps de gauge apareixen en el lagrangiano que rig la dinàmica del camp en forma de conexió, per tant, matemàticament estan associades a 1-formas que prenen valors sobre una certa àlgebra de Lie.
2. El camp de gauge pot ser vist com el resultat d'aplicar a diferents punts del espai diferents transformacions dins del grup de simetria associat als camps fermiónicos de la teoria.

Mecanisme de Higgs

Encara que en el model estàndar totes les interaccions o forces bàsiques exhibixen algun tipo de simetria de gauge, esta simetria no és sempre obvia en els estats observats. A voltes, especialment quan la temperatura disminuïx, la simetria es trenca espontàneament, és dir, ocorre el fenomen conegut com ruptura espontànea de la simetria. Un eixemple bàsic de la simetria trencada que es dona a sovint és un iman d'estat sòlit. Es compon de molts àtoms, cada u dels quals té un moment magnètic dipolar. No obstant, les lleis del magnetisme són rotacionalmente simètriques, i és aixina que a altes temperatures, els àtoms estarien alineats aleatoriamente, i la simetria rotatòria seria restaurada. Semejantemente, en les condicions apropiades, es pot gelar aigua per baix de la temperatura de solidificació: quan un cristal de gèl entra en contacte en el líquit, la simetria es trenca (es produïx una ruptura de la simetria interna) i l'aigua es solidifica immediatament.

Per a donar conte d'estos fets de ruptura de la simetria, s'ha propost el mecanisme de Higgs. Si en el lagrangiano de l'interacció o "camp de forces" concret que està sent estudiat, s'introduïxen cert tipo de camps escalares que interactuen en si mateixa, en el llímit de baixes energies els bosones gauge es comporten com si estigueren dotats de massa; este efecte és precisament el mecanisme de Higgs. En atres paraules el mecanisme de Higgs pot ser interpretat pensant que l'interacció entre el camp escalar introduït o camp de Higgs i els bosones gauge, fa que estos "adquirixquen" massa, és dir, presenten interaccions com les que presentarien genuïnes partícules en massa.

Formulació matemàtica

Artícul principal → Camp de Yang-Mills.

En una teoria de camp de gauge, una transformació de gauge és una aplicació diferenciable:

A on:

$ℳ$, és espai-temps, o varietat diferenciable, a on apareix el camp.

${𝒢}_{sym}$, és un grup de Lie o grup de simetria del camp, és dir, és un grup de transformacions que deixen invariable el lagrangiano que definix la dinàmica del camp. Este grup se sol cridar grup de transformacions de gauge del camp.

Matemàticament podem tractar convenientment una teoria de gauge com una conexió definida sobre un fibrado principal definit sobre l'espai-temps $ℳ$, més precisament el fibrado pot definir-se com l'espai topològic cocient de cartes locals:

A on:

$(x,v)\in U_i\times {ℝ}^k$ és una carta local

$(x,{\rho }_{ij}(v))\in U_j\times {ℝ}^k$ és una atra carta local

${ℝ}^k$ és l'espai vectorial que fa de fibra, per a les teories gauge més comunes k = 2 o 3 (i en algunes teories de gran unificació k pot aplegar a ser 9 o 10).

${\rho }_{ij}:U_i\cap U_j\to GL({ℝ}^k)$ són aplicacions que per a cada solapación entre cartes locals, donen el canvi de coordenades sobre les fibres.

En la construcció anterior de fibrado principal l'espai base serà l'espai-temps, corresponent-se en $ℳ$, i la "fibra" serà l'espai vectorial ${ℝ}^k$. El grup de gauge de la teoria és un grup de Lie ${𝒢}_{sym}\subset GL({ℝ}^k)$. Feta esta construcció una transformació de gauge és, precisament, una secció diferenciable de l'anterior fibrado principal. És dir una aplicació com (*) que a cada punt del espai li assigna un element del grup de Lie que representa la simetria gauge. Una transformació de gauge global seria una aplicació com eixa en la que, a tots els punts del espai-temps, li va ser assignat la mateixa transformació, mentres que un lagrangiano en invariancia gauge local és tal que, si en cada punt del espai s'elegix una transformació diferent, i per tant (*) és lo més general possible, llavors el lagrangiano no canvia.

Físicament una transformació de gauge és una transformació d'algun grau de llibertat intern que no modifica cap propietat física observable. El número de graus de llibertat interns és el mateix k que apareix en la definició anterior.

Conexions

Tècnicament el camp de gauge associat a una teoria gauge, apareix en el model matemàtic com una conexió sobre el fibrado principal anteriorment definit. Concretament a partir les components de la 1-forma $𝐀$ que pren valors en l'àlgebra de Lie associada al grup de gauge, poden calcular-se el conjunt de components físics que caracterisen el camp de gauge. Pròpiament el camp de gauge és un camp de Yang-Mills obtingut a partir de la 2-forma $𝐅$ donada per:

A on d és la derivada exterior i $\wedge$ és producte exterior (o producte cunya).

Transformacions infinitesimals

Una transformació de gauge infinitesimal és similar a una transformació de gauge ordinària, pero en la definició se substituïx el grup de gauge per la seua àlgebra de Lie associada:

A on:

$ℳ$, és espai-temps, o varietat diferenciable, a on apareix el camp.

${𝔤}_{sym}$, és l'àlgebra de Lie corresponent al grup de gauge ${𝒢}_{sym}$. Esta definició pot estendre's a qualsevol element sobre un fibrado tangente al espai-temps, de tal modo que estan definides les transformacions de gauge infinitesimals de qualsevol tipo de camp espinorial o tensorial.

Les transformacions de gauge infinitesimals definixen el número de camps bosónicos de la teoria i la forma en que estos interactuen. El conjunt de totes les transformacions de gauge infinitesimals formen un àlgebra de Lie, que es caracterisa, en este cas, per un escalar diferenciable a valors en un àlgebra de Lie, ε. Baix tal transformació de gauge infinitesimal:

A on [·,·] és el corchete de Lie. Estes transformacions infinitesimals tenen vàries propietats interessants:

• Les transformacions de gauge infinitesimals commuten en la derivada covariant definida per la conexió: ${\delta }_{\epsilon }X=\epsilon X\to {\delta }_{\epsilon }({𝐃}_{\alpha }X)=\epsilon {𝐃}_{\alpha }X$, a on ${𝐃}_{\alpha }={\partial }_{\alpha }+{𝐀}_{\alpha }$ és la derivada covariant.
• També, ${\delta }_{\epsilon }𝐅=\epsilon 𝐅$, que significa que $𝐅$ es transforma covariantement.
• No totes les transformacions de gauge poden ser generades per transformacions infinitesimals de gauge en general; per eixemple, quan la varietat de base és una varietat compacta sense vora, tal que la classe de homotopía de funcions d'eixa varietat al grup de Lie és no trivial. Un eixemple d'això són els instantones.

Lagrangiano d'una teoria gauge

L'integral d'acció calculada a partir del lagrangiano del camp de Yang-Mills està donada per:

A on $*$ designa l'operador dual de Hodge, i l'integral es definix com l'integral d'una n-forma proporcional a l'element de volum de la varietat de Riemann que definix l'espai-temps; i a on el camp de gauge $𝐅(𝐱)$ ve dau en térmens del cuadripotencial del camp:

explícitament en components ${𝐅}^a(𝐱)=F_{\mu \nu }^a\text{d}{x}^{\mu }\wedge \text{d}{x}^{\nu }$:

Càrrega de gauge

Per a una teoria de gauge que prenga la forma de camp de Yang-Mills en grup de gauge SU(N), existixen $N^2-1$ càrregues de gauge diferents que interaccionen en les $6(N^2-1)$ components del camp de gauge. En el cas electromagnètic el grup de gauge, és O(1) i això implica que, únicament, existix una càrrega de gauge que és, precisament, la càrrega elèctrica. En el cas de l'interacció electrodébil existixen tres càrregues de gauge, que estan relacionades en la càrrega elèctrica i la hipercarga dèbil.

Bucle de Wilson

Una cantitat que és invariante baixe transformacions de gauge és el bucle de Wilson, que es definix sobre qualsevol trayectòria tancada, γ en la forma com seguix:

${\chi }^{(\rho )}(𝒫\{e^{\underset{\gamma }{\int }A}\})$

a on ρ és un caràcter d'una representació complexa; i $𝒫$ representa a l'operador de trayectòria ordenada. En les teories de les interaccions electrodébil i forta del model estàndar de la física de partícules, els lagrangianos de bosones, que medien interaccions entre els fermiones, seran invariantes baix transformacions de gauge. Esta és la raó per la qual estos bosones es diuen bosones de gauge.

Formes de Chern-Simons

Vore Chern-Simons.

Vore també

• Ruptura espontànea de simetria electrodébil.
• Camp de Yang-Mills.

Bibliografia

Llibres

• (2000) Gauge Theory of Weak Interactions, Springer. ISBN 3-540-67672-4.
• (1983) Gauge Theory of Elementary Particle Physics, Oxford University Press. ISBN 0-19-851961-3.
• Frampton, P. (2008). Gauge Field Theories, 3rd edició, Wiley-VCH.
• Kane, G.L. (1987). Modern Elementary Particle Physics, Perseus Books. ISBN 0-201-11749-5.

• Schumm, Bruce (2004) Deep Down Things. Johns Hopkins University Press. Esp. chpt. 8. A serious attempt by a physicist to explain gauge theory and the Standard Model with little formal mathematics.

Artículs

• (1997).
• «Gauge theory – Past, Present and Future». Archivat des d'el original, el 16 de març de 2009. Consultat el 23 d'abril de 2009.
• (2002).Am.J.Phys.70

917–928.doi:10.1119/1.1491265.

• (1999).