Carta (matemàtica)

Archiu:CartaGeometriaDiferencial.png

Carta s'inclou en terminologia matemàtica en el sentit cartogràfic, l'objectiu és el d'unir una série de cartes o “mapes” per a que nos permeten definir completament una atles o “colecció de mapes” de la totalitat d'un espai topològic al que volem estudiar.

Per a una ampliació contextual de la definició veja varietats diferenciables.

Definició de cartes

Dau $M_{}^{}$ un espai topològic, cridarem carta de dimensió $m_{}^{}$ en $M_{}^{}$ a un parell $(U,{\Phi }_{}^{})$ tal que l'aplicació $\Phi :U=\stackrel{\circ }{U}\subset M\to {ℝ}^m$ complixca que ${\Phi }_{}^{}(U)$ siga un obert i ${\Phi }_{}^{}$ siga un homeomorfisme(biyectiva, contínua i inversa contínua).

Notes

Direm que $U_{}^{}$ és un obert coordenado. Si $p\in U$, direm que $U_{}^{}$ és un entorn coordenado de $p_{}^{}$.

Si $\Phi (p)=0_{}^{}$, direm que la carta està centrada en $p_{}^{}$.

Eixemples trivials

1) Si $M={ℝ}^n$ podem vore que $({ℝ}^n,id:{ℝ}^n\to {ℝ}^n)$ és carta $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:n>0$.

2) Si $M=ℝ$ pordemos vore que $((a,b),i:(a,b)\hookrightarrow ℝ)$ és carta $\mathrm{\forall }a,b\in ℝ:a<b$.

3) Si $M=ℝ$ podem vore que $(ℝ,x\mapsto x^3)$ és carta, també ho és $x^{2n+1}\mathrm{\forall }n>1$.

Demostració:

$ℝ$ és espai topològic, $\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{\exists }!x^3,\mathrm{\exists }!\sqrt[3]{x}$, després és biyectiva i com és contínua tenim un homeomorfisme.

4) Si $M=S^1\subset {ℝ}^{\mathrm{𝟚}}\cong ℂ$ podem vore que $(S^1\{i\},\varphi )$ és carta para:

$\begin{array}{cccc}\varphi :& S^1\{i\}& ⟶& (-\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2})\\ & z& ⟼& \theta :=\det -{\arg }_{(-\frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{2})}(z)\end{array}$.

Archiu:Estereográfica1D.gif

5) Si $M=S^1\subset {ℝ}^{\mathrm{𝟚}}\cong ℂ$ podem vore que $(S^1\{i\},\psi )$ és carta para:

la proyecció estereográfica $\begin{array}{cccc}\psi :& S^1\{i\}& ⟶& ℝ\\ & z& ⟼& x:=\frac{cos(arg(z))}{1-sen(arg(z))}\end{array}$.

Archiu:Estereográfica2D.gif

Cas particular en el que n=2

6) Si $M=S^n\subset {ℝ}^{n+1}$ podem vore que $(S^n\{(0,\dots ,0,1)\},\varphi )$ és carta para:

$\begin{array}{cccc}\varphi :& S^n\{(0,\dots ,0,1)\}& ⟶& {ℝ}^n\\ & (x_1,\dots ,x_{n+1})& ⟼& \frac{(x_1,\dots ,x_n)}{1-x_{n+1}}\end{array}$.

Bibliografia

• William M. Boothby, An Introduction to Differenciable Manifolds and Riemannian Geometry, 2nd ed. Sant Diego: Academic Press, 1986.
• Carmo, M. do, Riemannian Geometry. Boston: Birkhäuser, 1993.
• Currás Bosch, C. Geometria diferencial: varietats diferenciables i varietats de Riemann. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 2003.
• Girbau, J. Geometria diferencial i relativitat. Bellaterra: Publicacions de la Universitat Autònoma de Barcelona,1993.
• Hicks, N. J. Notes sobre la geometria diferencial. Barcelona: Hispà Europea, 1973.
• Kobayashi, S., Nomizu, K. Foundations of Differential Geometry, vol. I. New York [etc.] : Interscience, 1963.
• Spivak, M. A. Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Boston [Mass.]: Publish or Perish, 1970-1975.

Volum I,II,IV.

Warner, F. W. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. New York : Springer, 1983.

• John M. Llig, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer Graduate Texts in Mathematics 218.
• Roger Penrose: El camí de la realitat, Ed. Debat, Barcelona, 2006, p. 464, ISBN 84-8306-681-5.
• Spivak, Michael, Càlcul en varietats. Reverté (1988), ISBN 84-291-5142-7
• Spivak, Michael, A comprehensive introduction to differential geometry,volume I, Publish or Perish, Inc, Houston, Texas, 1999, ISBN 0-914098-87-X.