Theorema egregium

Archiu:Mercator-proj.png

Una conseqüència del theorema egregium és que no pot existir un mapa a escala de la Terra sense distorsió, en tindre la superfície de la terra i el pla diferents curvatura gaussianas. La proyecció de Mercator, mostrada en l'image, conserva els ànguls pero distorsiona les àrees, exagerant el seu tamany en els pols nort i sur (Austràlia és major que Groenlàndia encara que la proyecció sugerix lo contrari).

El theorema egregium (en llatí: 'teorema destacable') o teorema egregio és un resultat fonamental de la geometria diferencial demostrat per Carl Friedrich Gauss i que es referix a la curvatura de les superfícies. Informalmente, la teorema diu que la curvatura gaussiana d'una superfície diferenciable pot determinar-se per complet medint ànguls i distàncies sobre la pròpia superfície, sense fer referència a la forma particular en que es curva dins del espai euclídeo tridimensional. És dir, el concepte de curvatura és un invariante intrínsec d'una superfície.

Gauss va formular la teorema (traduït del llatí) com:

Per tant de la fòrmula precedent se seguix per sí mateixa la destacable teorema següent: Si una superfície curva es desenrolla sobre qualsevol atra superfície, la mida de la curvatura en cada punt permaneix inalterada.

Gauss ho va considerar "destacable" (egregium) perque la definició de curvatura gaussiana fa us directe de la posició de la superfície en l'espai i per tant és prou sorprenent que el resultat no depenga de la manera en que la superfície està immersa en ${ℝ}^3$. En una formulació més actualisada la teorema es podria formular com:

La curvatura gaussiana d'una superfície és invariante baix isometrías locals

Un corolari és que només existix una isometría entre dos superfícies si tenen la mateixa curvatura gaussiana.

Aplicacions elementals

Archiu:Helicatenoid.gif

Animació que mostra la deformació d'una helicoide en una catenoide, en a on la curvatura gaussiana en punts corresponents és la mateixa.

• Una esfera de ràdio R té curvatura gaussiana que és igual a R⁻², mentres que el pla té curvatura nula. Per tant, com a corolari del theorema egregium un full de paper no pot doblar-se per a formar una porció de l'esfera sense arrugar-se o esgarrar-se. I recíprocamente, la superfície de l'esfera no pot "desenrollar-se" en una porció del pla sense distorsionar les distàncies: matemàticament parlant, no existix una isometría entre el pla i l'esfera, ni tan sols localment. Este fet té una conseqüència important per a la cartografia: implica que no pot construir-se un mapa de la Terra, en que l'escala siga perfectament constant en cada punt del pla (les proyeccions usades usualment alteren l'escala en diferents punts, produint-se certa distorsió).
• La catenoide i el helicoide són dos superfícies d'aspecte molt diferent. No obstant, cada una pot ser contínuament deformada en l'atra, ya que abdós són localment isomètriques. Se seguix del theorema egregium que la curvatura gaussiana en punts corresponents de la catenoide i l'helicoide és la mateixa.
• El cilindre o el con són superfícies curves la curvatura de les quals gaussiana és nula i ademés són superfícies desarrollables, per lo que poden construir-se a partir d'un péntol de cartó pla.