Classe característica

En matemàtiques, una classe característica és un element del mòdul de cohomología d'un espai topològic que satisfà certs axioma. Són invariantes topològics de l'espai topològic en qüestió. Les classes característiques són un concepte unificador entre la topología algebraica, la geometria diferencial i la geometria algebraica. La teoria explica, en térmens molt generals, per qué els fibrados no sempre poden tindre seccions. És dir, medixen la desviació d'una estructura de producte local d'una estructura de producte global.

Definició

Siga G un grup, i per a un espai topològic X, escriga's b_G(x) per al conjunt de les classes d'isomorfisme de G-fibrados principals. Açò és un funtor de Top a Set, enviant una funció f a l'operació f^* del pullback. Una classe característica c de G-fibrados principals és llavors una transformació natural de b_G a un funtor H^* de cohomología, vist també com funtor a Set.

És dir desigem associar a qualsevol G-fibrado principal P → X un element c(P) en H ^*(X) tal que, si f: I → X és una funció contínua, llavors c(f^* P) = f^* c(P). A l'esquerra està la classe del pullback de P a I; a la dreta està l'image de la classe de P baix la funció induïda en cohomología.

Motivació

Les classes característiques són un mig per a medir fins que punt un fibrado discrepa del trivial. També són fenomens de la teoria cohomológica de modo en que per a una secció (matemàtica) i per a decidir la seua existència, necessitem eixa variancia.

Les classes característiques des de la seua infància en els anys 30 (com a part de teoria de l'obstrucció) era una raó important per la que una teoria 'dual' a l'homologia va ser buscada: La cohomología. L'enfocament de classes característiques als invariantes de la curvatura era una raó particular per a fer una teoria, també provar un teorema de Gauss-Bonnet generalisat.

Quan la teoria va ser posada en una base organisada al voltant de 1950 (en les definicions reduïdes a la teoria homotópica) va aplegar a estar clar que les classes característiques més fonamentals conegudes en aquella época (la classe de Stiefel-Whitney, la classe de Chern, i les classes de Pontryagin) eren reflexos dels grups llineals clàssics i l'estructura de la seua bou maximal. Lo que és més, la classe de Chern mateixa no era tan nova, sent reflectida en el càlcul de Schubert en Grassmannianas, i en el treball de l'escola italiana de geometria algebraica. Per una atra part ara hi havia un marc que produïa famílies de classes, sempre que hi haguera un fibrado vectorial implicat.

El mecanisme primordial llavors semblava ser este: donat un espai X que duya un fibrado vectorial, això implicava en la categoria homotópica una funció de X a un espai clasificante BG, per al grup llineal rellevant G, Per a la teoria de homotopía l'informació rellevant està en subgrups compactes tals com els grups ortogonals i grups unitaris com G. Esta seguix sent l'explicació clàssica, encara que en una teoria geomètrica donada és profitós prendre l'estructura adicional en conte. Quan la cohomología va aplegar a ser 'extraordinària' en l'arribada de la K-teoria i de la teoria del cobordismo de 1955 en avant, solament era necessari canviar la lletra H en tots els llocs per a determinar les classes característiques.

Les classes característiques es varen determinar més alvance per a les foliaciones de varietatés; tenen (en un sentit modificat, per a les foliaciones en algunes singularitats permeses) una teoria de l'espai clasificante en la teoria de homotopía..

En un treball posterior al rapprochement de les matemàtiques i la física, noves classes característiques varen ser trobades per Simon Donaldson i Dieter Kotschick en la teoria del instantón. El treball i el punt de vista de Chern també s'han mostrat importants: vore les Formes de Chern-Simons.